Question

Срочно! Даю 100 баллов Доказать неравенства:1) a2 - 8a + 17 > 0 при всех действительных значениях a;2) x2 - 6xy +10y2 - 4y + 7 > 0 при всех действительных значениях x и y;3) (4a -1)(4a + 1) - (5a - 7)2 < 14(5a - 1) при любом значении переменной;4) x2 + 9y2 + 2x + 6y + 2 > 0 при всех действительных значениях x и y.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:1) a² - 8a + 17 > 0 при всех действительных значениях a;         Док-во: a² - 8a + 17= a² - 8a + 16+1= (a² - 8a + 16)+1= (а-4)²+1 >0 при любом а, т.к.  (а-4)²≥0, чтд

2) x² - 6xy +10y² - 4y + 7 > 0 при всех действительных значениях x и y.     Док-во: x² - 6xy +10y² - 4y + 7 = x² - 6xy +9y² +у² - 4y + 4+3 = (x² - 6xy +9y²) + (у² -4y + 4)+3 = (х-3у)²+ (у-2)²+3>0 при любых х и у, т.к.  (х-3у)²≥0, (у-2)²≥0, чтд

3) (4a -1)(4a + 1) - (5a - 7)2 < 14(5a - 1) при любом значении переменной;   Док-во: Cоставим разность между левой и правой частями неравенства и докажем, что она отрицательна (4a -1)(4a + 1) - (5a - 7)²  - 14(5a - 1) =16а² - 1 -25а²+70а-49 - 70а +14= - 9а² -36 = - (9а²+36) <0 при любом а, т.к.(9а²+36)>0. ЧТД

4) x²+ 9y² + 2x + 6y + 2 > 0 при всех действительных значениях x и y.

Док-во:x²+ 9y² + 2x + 6y + 2 =(х²+2х+1) +(9у²+6у+1)= (х+1)²+( 3у+1)²≥0 при  любых х и у, чтд

Answer 2

Давайте по очереди докажем каждое из неравенств:

1. Посмотрим на квадратное уравнение вида $a^2 - 8a + 17$. Чтобы понять, когда оно больше нуля, давайте найдем его вершины. Формула вершины квадратного уравнения $ax^2 + bx + c$ выглядит как $-\frac{b}{2a}$.

В данном случае $a = 1$, $b = -8$, $c = 17$. Таким образом, вершина у нас будет в точке $x = \frac{8}{2 \cdot 1} = 4$.

Теперь, так как у нас ветви параболы повернуты вверх (коэффициент $a$ положителен), то значение параболы будет больше нуля, когда она находится выше оси $x$, то есть при $a$ в диапазоне $(-\infty, 4)$ и $(4, +\infty)$.

2. Рассмотрим выражение $x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7$. Для анализа знаков выведем его квадратное выражение относительно $x$:

$x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 = x^2 - (6y)x + (10y^2 - 4y + 7)$.

Это выражение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами $-6y$, $10y^2 - 4y + 7$. Аналогично первому неравенству, мы можем найти вершину этого квадратного уравнения по $x$:

$x = \frac{6y}{2 \cdot 1} = 3y$.

Таким образом, аналогично первому случаю, ветви параболы направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен), и выражение больше нуля при $x$ в диапазоне $(-\infty, 3y)$ и $(3y, +\infty)$.

3. Рассмотрим $4a^2 - 1 - (25a^2 - 70a + 49) < 14(5a - 1)$.

Раскроем скобки:

$4a^2 - 1 - 25a^2 + 70a - 49 < 70a - 14$.

Упростим:

$-21a^2 + 70a - 50 < 0$.

Выносим общий множитель за скобку:

$-(21a^2 - 70a + 50) < 0$.

Для решения этого неравенства, найдем вершину квадратного уравнения $21a^2 - 70a + 50$ по $a$:

$a = \frac{70}{2 \cdot 21} = \frac{5}{6}$.

Поскольку коэффициент при $a^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, и выражение меньше нуля между корнями этого квадратного уравнения. Таким образом, неравенство выполняется при $\frac{5}{6} < a < +\infty$.

4. Рассмотрим $x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2$. Мы можем дополнить квадрат $x^2 + 2x$ и получить полный квадрат:

$x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$.

Аналогично, для $y^2 + 6y$:

$y^2 + 6y = y^2 + 6y + 9 - 9 = (y + 3)^2 - 9$.

Подставляем эти выражения в начальное неравенство:

$(x + 1)^2 - 1 + 9(y + 3)^2 - 9 + 2 > 0$