Question

Решите систему неравенств 6^x+(1/6)^x>2 2^x^2<=4*2^x

Answer 1

Ответ:

Решить систему неравенств .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 6^{x}+\Big(\dfrac{1}{6}\Big)^{x} > 2\\\bf 2^{x^2}\leq 4\cdot 2^{x}\end{array}\right$  

Решим неравенства сначала по отдельности .

$\bf a)\ \ 6^{x}+\Big(\dfrac{1}{6}\Big)^{x} > 2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 6^{x}+\dfrac{1}{6^{x}}-2 > 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{6^{2x}-2\cdot 6^{x}+1}{6^{x}} > 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(6^{x}-1)^2}{6^{x}} > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 6^{x} > 0\ \ pri\ x\in R\\\bf (6^{x}-1)^2\ne 0\end{array}\right\ \ ,\ \ \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in (-\infty ;+\infty )}\\\bf 6^{x}\ne 1\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in (-\infty ;+\infty )}\\\bf 6^{x}\ne 6^0\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x\ne 0$          

$\bf b)\ \ 2^{x^2}\leq 4\cdot 2^{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2^{x^2}\leq 2^{2+x}$

Воспользуемся тем, что функция  $\bf y=2^{x}$   возрастающая .

$\bf x^2\leq 2+x\ \ ,\ \ x^2-x-2\leq 0\ \ ,\ \ \ (x-2)(x+1)\leq 0\ \ ,\\\\znaki\ :\ \ \ +++\, [-1\, ]---[\ 2\ ]+++\\\\\boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 2\ ]}$

c)  Теперь решим систему    

$\left\{\begin{array}{l}\bf x\ne 0\\\bf x\in [-1\ ;\ 2\ ]\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;\ 2\ ]}$  

Ответ:   $\boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;\ 2\ ]}$  .          

Answer 2

Давайте начнем с первой системы неравенств:

1. 6^x + (1/6)^x > 2

Для начала, давайте заметим, что x не может быть отрицательным числом, так как все члены в данной системе неравенств положительны. Таким образом, x >= 0.

Теперь мы можем рассмотреть первое неравенство:

6^x + (1/6)^x > 2

Мы видим, что 6^x всегда увеличивается при увеличении x, а (1/6)^x убывает при увеличении x. Таким образом, минимальное значение нашей суммы будет при x = 0:

6^0 + (1/6)^0 = 1 + 1 = 2

Таким образом, наша система неравенств имеет решение для x >= 0.

Теперь перейдем ко второй системе неравенств:

2^(x^2) <= 4 * 2^x

Сначала упростим правую сторону:

4 * 2^x = 2^2 * 2^x = 2^(2 + x)

Теперь наше неравенство выглядит так:

2^(x^2) <= 2^(2 + x)

Чтобы решить это неравенство, мы можем сравнить показатели степени:

x^2 <= 2 + x

Теперь приведем все в одну сторону:

x^2 - x - 2 <= 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни:

x^2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

Корни: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем построить знаки нашего неравенства:

1. Когда x < -1: Оба множителя (x - 2) и (x + 1) отрицательны, поэтому произведение положительно.
2. Когда -1 < x < 2: Первый множитель (x - 2) отрицателен, а второй (x + 1) положителен, поэтому произведение отрицательно.
3. Когда x > 2: Оба множителя положительны, поэтому произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства x^2 - x - 2 <= 0 это -1 <= x <= 2.

Итак, вторая часть системы неравенств имеет решение -1 <= x <= 2.

Совмещая оба решения, мы получаем:

0 <= x <= 2.

Итак, решение исходной системы неравенств:

1. 6^x + (1/6)^x > 2 при x >= 0.
2. 2^(x^2) <= 4 * 2^x при 0 <= x <= 2.