Question

ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ  y=x(x+1)  в кубе 

Answer 1

1) нули функции x=0 x=-1

2) y'=3x*(x+1)^2+(x+1)^3=(x+1)^2*(4x+1)

y'=0  x=-1 x=-1/4

x=-1/4 точка минимума

y(-1/4)=3/4^(3)*(-1/4)=-27/256

3) y''=2(4x+1)(x+1)+(x+1)^2*4=(x+1)[8x+2+4x+4]=(x+1)(12x+6)=6(x+1)(2x+1)

x=-1; x=-1/2 точки перегиба

-1<x<-1/2 кривая выпукла

x>-1/2 кривая вогнута

x<-1 кривая вогнута

4) асимптоты отсутствуют

Answer 2

Для исследования функции $y = x(x + 1)$ в интервале $[-1, 1]$, который можно считать "кубом" в одномерном пространстве, выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат, чтобы найти нули функции:

   Уравнение $y = x(x + 1)$ имеет нули при $x = 0$ и $x = -1$.

2. Определим знак функции в интервалах между найденными нулями и вне этого интервала:

   • Для $x < -1$, $x$ и $(x + 1)$ оба отрицательны, поэтому $y$ положительно.
   • Для $-1 < x < 0$, $x$ отрицательно, но $(x + 1)$ положительно, поэтому $y$ отрицательно.
   • Для $0 < x$, оба $x$ и $(x + 1)$ положительны, поэтому $y$ снова положительно.

3. Найдем точку экстремума (минимума или максимума) функции:

   Чтобы найти экстремум, найдем производную функции $y$ по $x$:

   $y'(x) = 2x + 1$

   Чтобы найти точку, в которой производная равна нулю:

   $2x + 1 = 0$

   $2x = -1$

   $x = -1/2$

   Теперь мы знаем, что точка экстремума находится в $x = -1/2$.

4. Определим характер экстремума:

   Для этого вычислим вторую производную функции $y$:

   $y''(x) = 2$

   Поскольку $y''(x)$ положительна для всех значений $x$, это означает, что у нас есть минимум функции в точке $x = -1/2$.

Таким образом, исследование функции $y = x(x + 1)$ в кубе $[-1, 1]$ показывает, что она имеет один минимум в точке $x = -1/2$ и меняет знак между интервалами $-1 < x < 0$ и $0 < x$, она положительна вне этого интервала и отрицательна внутри него.