Question

Решите неравенство 1) 3x^2+3x-6<(x-1)^2 2) 3x^2-5x-32<(x-7)^2 3) 2x^2+7x-13>(x-5)^2 4) 2x^2+14x-20>(x-6)^2 5) 3x^2+10x+19>(x+7)^2

Answer 1

1
3x²+3x-6-x²+2x-1<0
2x²+5x-7<0
D=25+56=81
x1=(-5-9)/4=-3,5 U x2=(-5+9)/4=1
x∈(-3,5;1)
2
3x²-5x-32-x²+14x-49<0
2x²+9x-81<0
D=81+648=729
x1=(-9-27)/4=-9 U x2=(-9+27)/4=4,5
x∈(-9;4,5)
3
2x²+7x-13-x²+10x-25>0
x²+17x-38>0
x1+x2=-17 U x1*x2=-38
x1=-19 U x2=2
x∈(-∞;-19) U (2;∞)
4
2x²+14x-20-x²+12x-36>0
x²+26x-56>0
x1+x2=-26 U x1*x2=-56
x1=-28 U x2=2
x∈(-∞;-28) U (2;∞)
5
3x²+10x+19-x²-14x-49>0
2x²-4x-30>0
x²-2x-15>0
x1+x2=2 U x1*x2=-15
x1=-3 U x2=5
x∈(-∞;-3) U (5;∞)

Answer 2

Давайте решим каждое из данных неравенств по очереди:

1. $3x^2 + 3x - 6 < (x - 1)^2$

Раскроем квадрат справа: $3x^2 + 3x - 6 < x^2 - 2x + 1$

Приравняем оба слагаемых к 0: $2x^2 + 5x - 7 < 0$

Для решения квадратного неравенства воспользуемся графиком параболы, либо найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$ (это можно сделать, используя квадратное уравнение или формулу дискриминанта). Найденные корни разбивают числовую прямую на интервалы. Необходимо определить, на каких интервалах выполняется неравенство. После определения интервалов нужно проверить знаки на этих интервалах.

Решением данного неравенства будет: $-\frac{7}{2} < x < 1$

2. $3x^2 - 5x - 32 < (x - 7)^2$

Раскроем квадрат справа: $3x^2 - 5x - 32 < x^2 - 14x + 49$

Приравняем оба слагаемых к 0: $2x^2 + 9x - 81 < 0$

Аналогично первому неравенству, решим квадратное неравенство: $-9 < x < \frac{9}{2}$

3. $2x^2 + 7x - 13 > (x - 5)^2$

Раскроем квадрат справа: $2x^2 + 7x - 13 > x^2 - 10x + 25$

Приравняем оба слагаемых к 0: $x^2 + 17x - 38 > 0$

Решим квадратное неравенство: $-19 < x < 2$

4. $2x^2 + 14x - 20 > (x - 6)^2$

Раскроем квадрат справа: $2x^2 + 14x - 20 > x^2 - 12x + 36$

Приравняем оба слагаемых к 0: $x^2 + 26x - 56 > 0$

Решим квадратное неравенство: $-28 < x < 2$

5. $3x^2 + 10x + 19 > (x + 7)^2$

Раскроем квадрат справа: $3x^2 + 10x + 19 > x^2 + 14x + 49$

Приравняем оба слагаемых к 0: $2x^2 - 4x - 30 > 0$

Решим квадратное неравенство: $-\frac{5}{2} < x < 3$

Итак, мы решили все данные неравенства и получили интервальные решения для каждого из них.