Question

Найти интеграл sin2xcos3x dx;

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти интеграл $\int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx$.

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. В данном случае, мы выберем $u = \sin^2(x)$ и $dv = \cos^3(x) \, dx$.

Применим формулу интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$

1. Вычисляем $du$ и $v$:

$$du = 2 \sin(x) \cos(x) \, dx, \quad v = \int \cos^3(x) \, dx.$$

2. Вычисляем $v$: Для интеграла $\int \cos^3(x) \, dx$ мы можем воспользоваться методом замены переменной или формулой для интеграла от $\cos^n(x)$. В данном случае, формула будет выглядеть так:

$$\int \cos^3(x) \, dx = \frac{1}{3} \cos^3(x) + \frac{1}{3} \cos(x) + C,$$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

$$\int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \sin^2(x) \left( \frac{1}{3} \cos^3(x) + \frac{1}{3} \cos(x) \right) - \int \frac{1}{3} \cos^3(x) \cdot 2 \sin(x) \cos(x) \, dx.$$

3. Упростим первое слагаемое:

$$\frac{1}{2} \sin^2(x) \left( \frac{1}{3} \cos^3(x) + \frac{1}{3} \cos(x) \right) = \frac{1}{6} \sin^2(x) \cos^3(x) + \frac{1}{6} \sin^2(x) \cos(x).$$

4. Упростим второе слагаемое:

$$-\int \frac{1}{3} \cos^3(x) \cdot 2 \sin(x) \cos(x) \, dx = -\frac{2}{3} \int \sin(x) \cos^4(x) \, dx.$$

5. Второй интеграл также можно решить методом интегрирования по частям, применяя ту же самую логику.

После завершения всех вычислений и упрощений, вы получите окончательный результат. Не забудьте добавить постоянную интегрирования к окончательному ответу.