Question

Решить интеграл (4x-1)/(x^(2)-8x+25)

Answer 1

$\int \frac{4x-1}{x^2-8x+25}dx=\int \frac{4x-1}{(x-4)^2+9}dx=[\, t=x-4,\; x=t+4,\; dx=dt\, ]=\\\\=\int \frac{4t+15}{t^2+9}dt=2\int \frac{2t\, dt}{t^2+9}+15\int \frac{dt}{x^2+9}=[\, 2t\, dt=d(t^2+9)\, ]=\\\\=2\, ln|t^2+9|+15\cdot \frac{1}{3}\cdot arctg\frac{t}{3}+C=\\\\=2\cdot ln|x^2-8x+25|+15\cdot arctg \frac{x-4}{3}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы сначала разложим дробь на простые дроби, а затем проинтегрируем каждую из них по отдельности. Процесс разложения выглядит следующим образом:

$\frac{4x-1}{x^2-8x+25} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b},$

где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $a$ и $b$ - корни знаменателя $x^2-8x+25$.

Далее, найдем значения $A$ и $B$ и проинтегрируем обе простые дроби.

1. Найдем $A$ и $B$:

$4x-1 = A(x-b) + B(x-a).$

Для этого подставим значения $x = a$ и $x = b$:

Для $x = a$: $4a - 1 = A(a - b).$

Для $x = b$: $4b - 1 = B(b - a).$

Теперь решим эту систему уравнений:

$$\begin{cases} A(a - b) = 4a - 1, \\ B(b - a) = 4b - 1. \end{cases}$$

Распишем уравнения:

$$\begin{cases} Aa - Ab = 4a - 1, \\ Bb - Ba = 4b - 1. \end{cases}$$

Выразим $A$ и $B$:

$$\begin{align*} A &= \frac{4a - 1}{a - b}, \\ B &= \frac{4b - 1}{b - a}. \end{align*}$$

2. Подставим найденные значения $A$ и $B$ в интеграл:

$$\begin{align*} \int \frac{4x - 1}{x^2 - 8x + 25} dx &= \int \left( \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} \right) dx \\ &= \int \frac{\frac{4a - 1}{a - b}}{x - a} dx + \int \frac{\frac{4b - 1}{b - a}}{x - b} dx \\ &= (4a - 1) \int \frac{1}{x - a} dx + (4b - 1) \int \frac{1}{x - b} dx. \end{align*}$$

Теперь проинтегрируем оба слагаемых:

$$\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C_1,$$

$$\int \frac{1}{x - b} dx = \ln|x - b| + C_2,$$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

3. Запишем окончательное выражение для интеграла:

$$\begin{align*} \int \frac{4x - 1}{x^2 - 8x + 25} dx &= (4a - 1) \int \frac{1}{x - a} dx + (4b - 1) \int \frac{1}{x - b} dx \\ &= (4a - 1) \ln|x - a| + (4b - 1) \ln|x - b| + C, \end{align*}$$