Question

В равнобедренном треугольнике с основанием АС провели высоту ВД. Найдите её длину, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВД – 30 см.

Answer 1

Ответ:  10 см.

Объяснение:

Во-первых, в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.

Во-вторых, высота в равнобедренном треугольнике является ее биссектрисой и медианой (AD=CD).  Поэтому треугольники ABD и СВD равны.

Р(АВС)=АВ+ВС+АС=40 см;  

Р(ABD)=P(BCD)=АВ+AD+BD=30 см.

BD=(2PABD-PABC)/2=(2*30-40)/2=(60-40)/2=10 см .

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим неизвестную длину высоты как \(h\), а длину стороны треугольника \(AB\) как \(x\).

Мы знаем, что треугольник \(ABC\) - равнобедренный, а его периметр равен 40 см. В равнобедренном треугольнике две стороны, идущие из вершины, равны. Таким образом, \(AC = BC = \frac{40 - AB}{2}\).

Также мы знаем, что периметр треугольника \(ABD\) равен 30 см. Периметр треугольника - это сумма всех его сторон, поэтому:

\[AB + BD + AD = 30.\]

Мы видим, что стороны \(AB\) и \(AD\) треугольника \(ABD\) равны длинам сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), соответственно, так как высота \(BD\) перпендикулярна к основанию \(AC\). Поэтому:

\[AB + AC + AC = 30.\]

Теперь мы можем выразить \(AB\) через \(AC\):

\[AB = 30 - 2AC.\]

Теперь, чтобы найти длину высоты \(h\), мы можем использовать подобие треугольников \(ABC\) и \(ABD\). По определению высоты в треугольнике \(ABC\), у нас есть:

\[\frac{h}{AC} = \frac{AB}{BC}.\]

Теперь мы можем подставить значение \(AB\) в это уравнение:

\[\frac{h}{AC} = \frac{30 - 2AC}{AC}.\]

Сократим \(AC\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{h}{1} = \frac{30 - 2AC}{AC}.\]

Теперь, умножим обе стороны на \(AC\) для избавления от дроби:

\[h = AC(30 - 2AC).\]

Теперь мы можем подставить значение \(AC\), которое равно \(\frac{40 - AB}{2}\), в это уравнение:

\[h = \frac{40 - AB}{2}(30 - 2(40 - AB)).\]

Теперь выразим \(AB\) через \(AC\) снова:

\[AB = 30 - 2AC.\]

Подставим это значение в уравнение для \(h\):

\[h = \frac{40 - (30 - 2AC)}{2}(30 - 2(40 - (30 - 2AC))).\]

Раскроем скобки:

\[h = \frac{40 - 30 + 2AC}{2}(30 - 80 + 2(30 - 2AC)).\]

Продолжим упрощение:

\[h = \frac{10 + 2AC}{2}(30 - 80 + 60 - 4AC).\]

Упростим числители:

\[h = (5 + AC)(30 - 80 + 60 - 4AC).\]

Теперь сложим и умножим числа в скобках:

\[h = (5 + AC)(-50 - 4AC).\]

Раскроем скобки:

\[h = -250 - 20AC + 5AC - 4AC^2.\]

Теперь сгруппируем подобные члены:

\[h = -250 - 19AC - 4AC^2.\]

Таким образом, мы получили выражение для длины высоты \(h\) в зависимости от длины стороны \(AC\). Теперь, если нам известна длина стороны \(AC\), мы можем найти длину высоты \(h\).