Question

Разложите на множители многочлен m^4+2m^3-m-2

Answer 1

${m}^{4} + 2 {m}^{3} - m - 2 = {m}^{3} (m - 2) + (m - 2) = (m - 2)( {m}^{3} + 1)=(m+2)(m+1)({m}^{2}-m+1)$

Answer 2

M^4+2m^3-m-2=m(m^3-1)+2(m^3-1)=(m^3-1)(m+2)

Answer 3

Для того чтобы разложить многочлен на множители, нужно найти его корни (значения переменной, при которых многочлен равен нулю). Затем, используя найденные корни, мы сможем выразить многочлен как произведение линейных множителей.

Для многочлена m^4 + 2m^3 - m - 2, давайте начнем с поиска его корней:

1. Пробуем подставить некоторые значения m, начиная с m = 1, -1, 2, -2, 0, чтобы проверить, являются ли они корнями многочлена.

Подставляя m = 1: (1)^4 + 2(1)^3 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 Таким образом, m = 1 - корень.

2. Теперь, делим многочлен на (m - 1), используя синтетическое деление:

   markdownCopy code
   1 | 1   2   -1   -2
      |_______
       1   3    2
       |_______
       1   3    2    0
   

Результат: m^3 + 3m^2 + 2m + 0 или просто m^3 + 3m^2 + 2m.

3. Теперь пробуем найти дополнительные корни для м^3 + 3m^2 + 2m. Давайте подставим m = -1, -2, 0:

Подставляя m = -1: (-1)^3 + 3(-1)^2 + 2(-1) = -1 + 3 - 2 = 0 Таким образом, m = -1 - корень.

Делим многочлен (m^3 + 3m^2 + 2m) на (m + 1):

markdownCopy code
  -1 | 1   3   2
      |________
         -1  -2
      |________
          1   1    0

Результат: m^2 + m + 0 или просто m^2 + m.

4. Находим последний корень m = 0: (0)^2 + 0 = 0, т.е. m = 0 - корень.

Делим (m^2 + m) на m:

markdownCopy code
   0 | 1   1
     |_____
         0

Таким образом, получаем оставшийся линейный множитель: m.

Теперь у нас есть все корни многочлена: m = 1, m = -1, m = 0, m = 0.

Итак, разложим исходный многочлен на множители: m^4 + 2m^3 - m - 2 = (m - 1)(m + 1)(m)(m) = (m - 1)(m + 1)m^2.