Question

Против течения лодка проплывает расстояние в 3 км на 1 час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

Answer 1

Скорость лодки в стоячей воде ( собственная скорость)  Vc= v км/ч
Скорость течения  реки Vт = 2 км/ч 
Расстояние S = 3 км

Путь по течению реки :
Скорость    V₁= Vc + Vт  = (v + 2) км/ч
Время в пути t₁ =S/V₁  =  3/(v + 2)  часов

Путь против течения реки :
Скорость    V₂  = Vc - Vт  = (v - 2)  км/ч
Время         t₂   = S/V₂ = 3/(v - 2) часов

t₂  - t₁  = 1 час   ⇒  уравнение:
3/(v - 2)   -   3/(v + 2) = 1
Знаменатели дробей не должны быть равны  0  ⇒  v≠2 ; v≠ - 2
Избавимся от знаменателей, умножим обе части уравнения
на  (v - 2)(v + 2) :
3(v + 2)   - 3(v - 2) = 1* (v - 2)(v + 2)
3v + 3*2  - 3v  - 3*(-2) = 1 *(v²  - 2²)
3v  + 6  - 3v  +  6  = v²  - 4
(3v - 3v)  + (6+6) = v²  - 4
12 = v²  - 4
v²  - 4  - 12 = 0
v²  - 16  = 0
v²  = 16
v₁ = √16 = √4²
v₁ = 4  (км/ч) скорость  лодки в стоячей воде
v₂ = - √16 =  - 4   не удовлетворяет условию задачи ( скорость - это  неотрицательная величина) 

Ответ :  4  км/ч  скорость лодки в стоячей воде.

Answer 2

Давайте обозначим скорость лодки в стоячей воде как V (км/ч). Тогда скорость лодки против течения будет равна V - 2 (км/ч) (так как течение замедляет лодку), а скорость лодки по течению будет V + 2 (км/ч) (так как течение ускоряет лодку).

Мы знаем, что время, которое лодка проплывает против течения, на 1 час дольше, чем время, которое она проплывает по течению.

Давайте обозначим время, которое лодка проплывает против течения, как t1 (в часах), а время, которое она проплывает по течению, как t2 (в часах).

Теперь, у нас есть два уравнения на основе времени и расстояния:

1. Для движения против течения: расстояние = скорость * время 3 км = (V - 2) * t1

2. Для движения по течению: расстояние = скорость * время 3 км = (V + 2) * t2

Мы также знаем, что время движения против течения больше на 1 час, чем время движения по течению, то есть t1 = t2 + 1.

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить:

1. 3 = (V - 2) * t1
2. 3 = (V + 2) * t2
3. t1 = t2 + 1

Давайте решим её.

Сначала, используем уравнение (3) для того, чтобы выразить t1 через t2:

t1 = t2 + 1

Теперь подставим это выражение для t1 в уравнение (1):

3 = (V - 2) * (t2 + 1)

Распишем скобки:

3 = Vt2 - 2t2 + V - 2

Теперь уравнение (2):

3 = (V + 2) * t2

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (V и t2). Решим её.

Мы знаем, что 3 = Vt2 - 2t2 + V - 2, поэтому:

3 = Vt2 - 2t2 + V - 2 5 = Vt2 - 2t2 + V

Теперь заменим V в уравнении (2) на (V + 2):

3 = (V + 2) * t2

Подставим выражение для V из уравнения (5):

3 = (5 - 2t2) * t2

Распишем уравнение:

3 = 5t2 - 2t2^2

Теперь приведем это уравнение к квадратичному виду:

2t2^2 - 5t2 + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации:

2t2^2 - 5t2 + 3 = 0 (2t2 - 3)(t2 - 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения t2:

1. 2t2 - 3 = 0 2t2 = 3 t2 = 3/2 = 1.5 часа

2. t2 - 1 = 0 t2 = 1 час

Теперь найдем соответствующие значения t1, используя уравнение (3):

1. t1 = t2 + 1 t1 = 1.5 + 1 t1 = 2.5 часа

2. t1 = t2 + 1 t1 = 1 + 1 t1 = 2 часа

Теперь у нас есть две пары значений (t1, t2): (2.5 часа, 1.5 часа) и (2 часа, 1 час).

Мы можем выбрать одну из этих пар для дальнейших расчетов. Давайте возьмем (t1, t2) = (2.5 часа, 1.5 часа).

Теперь мы можем найти значение скорости лодки V:

3 = (V - 2) * t1 3 = (V - 2) * 2.5

Распишем уравнение:

3 = 2.5V - 5 2.5V = 8 V = 8 / 2.5 V = 3.2

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 3.2 км/ч.