Question

Доведіть, що x²+y²+8x-10y+42＞0 при всіх дійсних значеннях х і у

Answer 1

X²+y²+8x-10y+42=(x²+2*4*x+16)+(y²-2*5*x+25)+1=
=(x²+2*4*x+4²)+(x²-2*5*x+5²)+11=(x+4)²+(x-5)²+1>0.

Answer 2

Для того щоб довести, що нерівність $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 > 0$ виконується для всіх дійсних значень $x$ і $y$, ми можемо спробувати перетворити її в квадратичний тригранник (комплеткувати квадрат) відносно $x$ і $y$.

Для цього спочатку додамо і віднімемо деякі терміни, щоб отримати повні квадрати в $x$ та $y$:

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 42 > 0$.

Тепер ми хочемо знайти такі терміни $A$ і $B$, щоб вираз $(x^2 + 8x + A) + (y^2 - 10y + B)$ був квадратом. Для цього нам потрібно, щоб коефіцієнти при $x^2$ та $y^2$ були одиничними, а коефіцієнти при $x$ та $y$ дорівнювали половині коефіцієнтів перед $x^2$ та $y^2$ відповідно. Тобто:

$(x^2 + 8x + A) + (y^2 - 10y + B) = x^2 + y^2 + 8x - 10y + (A + B)$.

Зауважте, що $A$ і $B$ додаються до виразу, тому $A + B$ також повинно додаватися до нерівності. Тепер знаходимо $A$ і $B$:

1. Щоб $x^2 + 8x + A$ був квадратом, $A$ має бути дорівнювати квадрату половини коефіцієнта при $x$, тобто $A = (8/2)^2 = 16$.
2. Щоб $y^2 - 10y + B$ був квадратом, $B$ має бути дорівнювати квадрату половини коефіцієнта при $y$, тобто $B = (-10/2)^2 = 25$.

Тепер ми можемо переписати нашу нерівність з доданими квадратами:

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) + 42 - 16 - 25 > 0$.

Скорочуємо та спрощуємо:

$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1 > 0$.

Квадрати $(x + 4)^2$ та $(y - 5)^2$ завжди не менше нуля, оскільки це суми квадратів дійсних чисел, і вони можуть дорівнювати нулю лише в точках $x = -4$ та $y = 5$ відповідно.

Таким чином, $(x + 4)^2 + (y - 5)^2$ ніколи не може бути менше за нуль.

Остаточно маємо:

$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1 > 0$.

Отже, нерівність $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 > 0$ виконується для всіх дійсних значень $x$ і $y$.