Question

Помогите найти неопределенный интеграл, пожалуйста!! е^x*2^x

Answer 1

$\int \; e^{x}\cdot 2^{x}\cdot dx=\int \; (2e)^{x}\cdot dx=\frac{(2e)^{x}}{ln(2e)} +C=\frac{(2e)^{x}}{1+ln2}+C$

Answer 2

Конечно, я помогу найти неопределенный интеграл функции $e^x \cdot 2^x$.

Для нахождения интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$

где $u$ и $v$ - это выбранные части функции для дифференцирования и интегрирования соответственно.

Выберем $u = e^x$ и $dv = 2^x \, dx$, тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int 2^x \, dx$.

Интегрируем $v$ по отдельности:

$\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_1,$

где $C_1$ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, применим формулу интегрирования по частям:

$\int e^x \cdot 2^x \, dx = e^x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} \cdot e^x \, dx.$

Мы получили ещё один интеграл с тем же самым подынтегральным выражением, поэтому можем продолжать применять метод интегрирования по частям до тех пор, пока не получим полное выражение.

Повторим шаги:

$I = e^x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} \cdot e^x \, dx$

Второй интеграл снова равен $I$:

$I = e^x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - I.$

Теперь сложим $I$ к обеим сторонам:

$2I = e^x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + C_2,$

где $C_2$ - другая произвольная постоянная интегрирования.

Окончательно, получаем значение $I$:

$I = \frac{e^x \cdot 2^x}{2 \ln 2} + \frac{C_2}{2},$

где $C_2$ - произвольная константа.

Таким образом, неопределенный интеграл функции $e^x \cdot 2^x$ равен:

$\int e^x \cdot 2^x \, dx = \frac{e^x \cdot 2^x}{2 \ln 2} + C,$

где $C$ - произвольная константа интегрирования.