Question

В треугольнике ABC ∠A=54∘, ∠B=66∘, отрезок AK - высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6.

Answer 1

<C=180°-54°-66°=60°
Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла. Радиус описанной около тр-ка АВС окружности равен 6, получим:
6=АВ/2*sin60°=АВ/√3
АВ=6√3
Треугольник АВК - прямоугольный. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, т.е. радиус окружности равен половине гипотенузы
R=1/2АВ=3√3

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ABK, нам понадобится использовать свойство описанных окружностей в треугольниках.

Свойство описанной окружности гласит, что угол, образованный дугой на окружности, в два раза больше угла, соответствующего тому же дуге внутри окружности.

Мы знаем, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6. Поскольку АК - высота треугольника, то она делит сторону ВС пополам (поскольку треугольник АВС - прямоугольный, и АК является его высотой). Таким образом, сторона ВС равна 2 * 6 = 12.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ABK. Угол В равен 66°, и угол А равен 54°. Поскольку угол В относительно дуги ВК на описанной окружности в два раза больше угла ВК внутри окружности, угол ВК равен 66° / 2 = 33°.

Аналогично, угол АК равен 54° / 2 = 27°.

Теперь у нас есть три угла треугольника ABK: ∠A = 27°, ∠B = 33° и ∠K = 90° (так как AK - это высота прямоугольного треугольника ABC). Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

27° + 33° + 90° = 150°

Осталось найти последний угол треугольника ABK:

180° (сумма углов треугольника) - 150° = 30°

Теперь мы знаем все три угла треугольника ABK: ∠A = 27°, ∠B = 33° и ∠K = 30°. Заметим, что ∠K - это угол, образованный дугой АК на описанной окружности треугольника ABK.

Теперь мы можем использовать тот же закон, что и для треугольника ABC, чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ABK.

Закон гласит, что угол, образованный дугой на окружности, в два раза больше угла, соответствующего тому же дуге внутри окружности:

Радиус описанной окружности треугольника ABK / Радиус описанной окружности треугольника ABC = sin(∠K) / sin(∠A)

Радиус описанной окружности треугольника ABK / 6 = sin(30°) / sin(27°)

Теперь найдем значение sin(30°) и sin(27°) (можно использовать калькулятор):

sin(30°) ≈ 0.5 sin(27°) ≈ 0.454

Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника ABK:

Радиус описанной окружности треугольника ABK ≈ (0.5 / 0.454) * 6 ≈ 6.6

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABK, примерно равен 6.6.