Question

Помогите решить интеграл ( ln(lnx)) /x dx

Answer 1

/////////////////////////////////////////

Answer 2

Для решения данного интеграла, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям (integration by parts). Этот метод позволяет переписать интеграл в другой форме, что может облегчить его решение.

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и v - функции, которые выбираются так, чтобы после применения формулы правая часть стала более простой для интегрирования.

Пусть в нашем случае: u = ln(lnx) (первая функция) dv = dx/x (вторая функция)

Тогда: du = (1/lnx) * (1/x) dx v = ∫dv = ∫(dx/x) = ln|x|

Теперь можем применить формулу интегрирования по частям:

∫(ln(lnx) / x) dx = u * v - ∫v * du ∫(ln(lnx) / x) dx = ln(lnx) * ln|x| - ∫ln|x| * [(1/lnx) * (1/x)] dx

Теперь остается интегрировать последний интеграл. Мы можем упростить его, используя замену переменных.

Пусть z = ln(x). Тогда dx = e^z dz и 1/x = e^(-z). Также заменим ln(x) в выражении для удобства.

Теперь интеграл примет вид:

∫ln|x| * [(1/lnx) * (1/x)] dx = ∫z * e^(-z) * e^z dz ∫ln|x| * [(1/lnx) * (1/x)] dx = ∫z dz

Интегрирование этой простой функции даёт:

∫z dz = (z^2)/2 + C

Теперь вернемся к переменным x и z:

(z^2)/2 + C = (ln^2(x))/2 + C

Таким образом, окончательный результат интеграла:

∫(ln(lnx) / x) dx = ln(lnx) * ln|x| - (ln^2(x))/2 + C

где C - произвольная константа интегрирования.