Question

Найти частное решение дифференциального уравнения: (X+5)dy=(y-4)dx x=1 y=5

Answer 1

Дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные: $\frac{dy}{y-4} =\frac{dx}{x+5}$

Проинтегрируем левую и правую части уравнения, получим:

$\displaystyle \int \frac{dy}{y-4} =\int \frac{dx}{x+5} ~~~\Rightarrow~~~ \ln|y-4|=\ln|x+5|+\ln C\\ \\ y-4=C(x+5)~~~\Rightarrow~~ y=4+C(x+5)$

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия:

$5=4+C(1+5)\\ 1=6C~~~\Rightarrow~~~C=\frac{1}{6}$

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ : $y=4+\frac{1}{6}(x+5)$

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения необходимо проинтегрировать обе его части. Дано уравнение:

(X + 5)dy = (y - 4)dx

Перенесем все выражения с y на одну сторону и все выражения с x на другую сторону:

(X + 5)dy - (y - 4)dx = 0

Теперь проинтегрируем выражение по соответствующим переменным:

∫((X + 5)dy) - ∫((y - 4)dx) = 0

∫(X + 5)dy - ∫(y - 4)dx = C

Где C - постоянная интегрирования.

Выполним интегрирование:

∫(X + 5)dy = ∫(y - 4)dx + C

Чтобы интегрировать левую часть, считаем y константой относительно y, а правую - x константой относительно x:

(X + 5)∫dy = (y - 4)∫dx + C

(X + 5)y = (y - 4)x + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, используем начальные условия x = 1 и y = 5:

(1 + 5) * 5 = (5 - 4) * 1 + C

30 = 1 + C

C = 30 - 1

C = 29

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения (X + 5)dy = (y - 4)dx с условиями x = 1 и y = 5:

(X + 5)y = (y - 4)x + 29

Подставим значения x и y:

(1 + 5) * 5 = (5 - 4) * 1 + 29

30 = 1 + 29

30 = 30

Условия выполняются, и частное решение верно.