Question

1. Общее решение дифференциального уравнения (xy+x^3 y)y'=1+y^2 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения y''-y = cos2x, y(0)= -0.2, y'(0)=2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

1. Общее решение дифференциального уравнения (xy + x^3y)y' = 1 + y^2:

Давайте решим это дифференциальное уравнение шаг за шагом.

Сначала, обозначим y' = dy/dx. Заметим, что уравнение содержит функцию y и её производную y'. Мы можем использовать метод разделения переменных, чтобы решить это уравнение.

Разделим обе части уравнения на (xy + x^3y), получим:

dy/dx = (1 + y^2) / (xy + x^3y)

Теперь переместим переменные, чтобы сгруппировать y-зависимые и x-зависимые части:

(1 + y^2) dy = (xy + x^3y) dx

Затем интегрируем обе части уравнения:

∫(1 + y^2) dy = ∫(xy + x^3y) dx

Вычислим интегралы:

∫(1 + y^2) dy = y + (1/3)y^3 + C1

∫(xy + x^3y) dx = (1/2)x^2y + (1/4)x^4y + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Теперь приравняем выражения и установим их равенство постоянной C:

y + (1/3)y^3 + C1 = (1/2)x^2y + (1/4)x^4y + C2

Для простоты обозначим (1/2)x^2y + (1/4)x^4y + C2 как C:

y + (1/3)y^3 + C1 = C

C - постоянная.

Итак, общее решение дифференциального уравнения (xy + x^3y)y' = 1 + y^2:

y + (1/3)y^3 = C - C1

Где C - произвольная постоянная, а C1 - ещё одна произвольная постоянная.

2. Найдите частное решение дифференциального уравнения y'' - y = cos(2x), y(0) = -0.2, y'(0) = 2:

Для решения этого уравнения можно использовать метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Acos(2x) + Bsin(2x), где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Дифференцируем y_p для нахождения y_p' и y_p'':

y_p' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) y_p'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(