Question

3. Найти решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. (dy)/(dx)+xy=x 4. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения. y'+(y/x)=(1/x^2), если у (1) = 3

Answer 1

Ответ:

..............................

Answer 2

Для решения каждого уравнения используем метод разделения переменных.

1. Найти решение линейного дифференциального уравнения первого порядка: (dy)/(dx) + xy = x.

Начнем с уравнения: (dy)/(dx) + xy = x.

Чтобы решить это уравнение, сначала перенесем все члены, содержащие y, в левую часть уравнения, а все остальные в правую часть: (dy)/(dx) = x - xy.

Теперь разделим обе части уравнения на выражение (1 - xy), чтобы выразить y: (dy)/(dx) / (1 - xy) = x.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной y и по x:

∫(dy)/(1 - xy) = ∫x dx.

Для левой части интеграла используем замену переменных u = 1 - xy, тогда du = -y dx, а также x = -1/u. Подставим это в уравнение:

-∫(1/u) du = ∫(-1/u) dx.

-ln|u| + C1 = -ln|u| + C2.

Где C1 и C2 - константы интегрирования. Перепишем в общем виде:

-ln|1 - xy| + C1 = -ln|1 - xy| + C2.

Сократим логарифмы, перенесем константу вправо:

ln|1 - xy| = C2 - C1.

Обозначим C2 - C1 = C и возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|1 - xy| = e^C.

Теперь разделим уравнение на e^C, учитывая, что e^C > 0:

1 - xy = ±e^C.

±e^C - 1 = -xy.

Теперь выразим y:

y = (±e^C - 1)/(-x).

Обозначим ±e^C = A:

y = (A - 1)/(-x).

Где A - произвольная постоянная.

2. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения: y' + (y/x) = (1/x^2), если у(1) = 3.

Исходное уравнение: y' + (y/x) = (1/x^2).

Для нахождения частного решения подставим x = 1 и y = 3 в уравнение:

y'(1) + (3/1) = (1/1^2),

y'(1) + 3 = 1.

Теперь найдем y'(1):

y'(1) = 1 - 3,

y'(1) = -2.

Таким образом, частное решение уравнения y' + (y/x) = (1/x^2) при условии у(1) = 3 имеет значение y' = -2 при x = 1.