Question

№1. 1. Дайте понятие комплексного числа. Назовите три формы представления комплексных чисел (1 балл). 2. Даны комплексные числа: z1=-4i и z2=-5+i. Укажите их форму представления, найдите действительную и мнимую части указанных чисел (1 балл). 3. Найдите их сумму, разность и произведение(1 балл). 4. Запишите числа, комплексно-сопряженные данным(1 балл). №2. 1. Как изображается комплексное число на комплексной плоскости(1 балл)? 2. Дано комплексное число . Изобразите его на комплексной плоскости. (1 балл). 3. Запишите формулу для вычисления модуля комплексного числа и вычислите (2 балла). №3. 1. Дайте определение матрицы, назовите виды матриц(1 балл). 2. Назовите линейные операции над матрицами(1 балл). 3. Найдите линейную комбинацию двух матриц , если , , , (2 балла). №4. 1. Что такое определитель квадратной матрицы? Запишите формулу для вычисления определителя 2-го порядка(1 балл). 2. Вычислите определитель второго порядка: (1 балл). 3. Сформулируйте свойство, которое можно использовать для вычисления определителя 2-го порядка ?(1 балл) 4. Вычислите определитель, используя его свойства(1 балл). №5. 1. В каких случаях определитель квадратной матрицы равен нулю(1 балл)? 2. Сформулировать правило Саррюса (нарисовать схему) (1 балл). 3. Вычислите определитель 3-го порядка (любым из способов) (2 балла). №6. 1. Какая матрица называется обратной заданной (1 балл)? 2. Для какой матрицы можно построить обратную? Определите, существует ли матрица, обратная матрице .(2 балла). 3. Запишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы(1 балл). №7. 1. Дайте определение ранга матрицы. Назовите способы нахождения ранга матрицы. Чему равен ранг матрицы ?(2 балла). 2. Определите, между какими значениями заключается ранг матрицы А: А= . Вычислите какой-нибудь минор 2-го порядка (2 балла). №8. 1. Приведите пример системы линейных алгебраических уравнений (1 балл). 2. Что называется решением системы? (1 балл). 3. Какая система называется совместной (несовместной), определенной (неопределенной)? Сформулировать критерий совместности системы(1 балл). 4. Дана расширенная матрица системы . Запишите систему, соответствующую данной матрице. Пользуясь критерием Кронекера-Капелли, сделайте вывод о совместности либо несовместности данной системы. (1 балл). №9. 1. Записать систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Запишите формулу для нахождения неизвестных с помощью обратной матрицы. (1 балл). 2. В каком случае система линейных алгебраических уравнений может быть решена матричным способом? (1 балл). 3. Запишите систему в матричном виде и определите, может ли быть она решена с помощью обратной матрицы? Сколько решений имеет данная система? (2 балла). №10. 1. Какая система называется квадратной? (1 балл). 2. Сформулировать теорему Крамера и записать формулы Крамера. (1 балл). 3. Пользуясь формулами Крамера, решите систему .(2 балла).

Answer 1

#3/ 1.Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексныхчисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы/. Виды: Виды матриц: квадратная, студенчатая, нулевая, дигональная, единичная, скалярная, треугольная и другие
2. Для матрицы определены следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер;умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Answer 2

№1: 1. Комплексное число - это число, которое состоит из двух частей: действительной и мнимой. Обозначается в виде "a + bi", где "a" - действительная часть, "b" - мнимая часть, а "i" - мнимая единица, которая равна корню из -1.

2. Формы представления комплексных чисел: a) Алгебраическая форма: z = a + bi, где "a" - действительная часть, "b" - мнимая часть. b) Тригонометрическая форма: z = r(cos(θ) + i*sin(θ)), где "r" - модуль комплексного числа, "θ" - аргумент комплексного числа. c) Экспоненциальная форма: z = re^(iθ), где "r" - модуль комплексного числа, "θ" - аргумент комплексного числа.

3. Для z1 = -4i и z2 = -5 + i: - Форма представления z1: z1 = 0 - 4i Действительная часть z1: 0 Мнимая часть z1: -4

- Форма представления z2: z2 = -5 + 1i Действительная часть z2: -5 Мнимая часть z2: 1

4. Числа, комплексно-сопряженные данным: - Комплексно-сопряженное число к z1 = -4i: z1* = 4i - Комплексно-сопряженное число к z2 = -5 + i: z2* = -5 - i

№2: 1. Комплексное число изображается на комплексной плоскости как точка с координатами (a, b), где "a" - действительная часть числа, а "b" - мнимая часть числа. Ось X представляет действительную часть, а ось Y - мнимую.

2. Для комплексного числа z = -5 + i, на комплексной плоскости оно будет представлено как точка с координатами (-5, 1), где -5 - это действительная часть, а 1 - мнимая часть.

3. Формула для вычисления модуля комплексного числа z = a + bi: |z| = √(a^2 + b^2) Для z = -5 + i: |z| = √((-5)^2 + 1^2) = √(25 + 1) = √26

№3: 1. Матрица - это упорядоченный набор чисел, организованных в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов. В матрице можно хранить данные или числа. Виды матриц включают прямоугольные, квадратные, нулевые, единичные и др.

2. Линейные операции над матрицами включают сложение и умножение на число (скаляр), а также сложение матриц и умножение матрицы на матрицу.

3. Линейная комбинация двух матриц A и B выглядит следующим образом: C = αA + βB, где α и β - скаляры, A и B - матрицы, а C - результат линейной комбинации.

№4: 1. Определитель квадратной матрицы - это численная характеристика матрицы, которая позволяет определить, обратима ли матрица и как она влияет на масштабирование при умножении на нее векторов. Формула для вычисления определителя 2-го порядка: |A| = ad - bc, где A = |a b| |c d|

2. Вычисление определителя для матрицы A = |2 3| |1 4|: |A| = 2*4 - 3*1 = 8 - 3 = 5

3. Свойство определителя 2-го порядка: Если матрица A имеет два одинаковых столбца или два одинаковых строки, то ее определитель равен нулю.

4. Вычисление определителя для матрицы B = |3 2| |6 4| с использованием свойств: |B| = |3 2| |6 4| = 2|1 2| |2 4| = 2(1*4 - 2*2) = 2(4 - 4) = 2*0 = 0

№5: 1. Определитель квадратной матрицы равен нулю в случае, когда строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы, то есть одна строка (или столбец) можно выразить как линейную комбинацию других строк (или столбцов).

2. Правило Саррюса - это метод вычисления определителя 3x3 матрицы. Схема правила Саррюса выглядит так: |a b c| |d e f| |g h i| Для вычисления определителя используются следующие выражения: |a b c| |a b| |d e