Question

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. (x^2-yx^2)*dy+(y^2+xy^2)*dx=0 2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. (dy)/x-1=(dx)/(y-2); y(4)=0

Answer 1

Ответ:

.................................

Answer 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Для уравнения (x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0:

Для того чтобы найти общее решение, следует разделить уравнение на dx * dy:

(x^2 - yx^2)dy = - (y^2 + xy^2)dx

Теперь перенесем все y-содержащие части в одну часть уравнения, а x-содержащие части в другую:

(x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0 (x^2 - yx^2)dy = - (y^2 + xy^2)dx

Теперь поделим обе части на (x^2 - yx^2)(y^2):

(dy) / (y^2) = - dx / (x^2)

Теперь проинтегрируем обе части:

∫(dy) / (y^2) = ∫- (dx) / (x^2)

Интегрирование дает нам:

-1/y = 1/x + C

где C - постоянная интегрирования. Теперь, чтобы найти окончательное решение, нужно решить уравнение относительно y:

y = -1 / (1/x + C)

или

y = -x / (1 + Cx)

Таким образом, общее решение уравнения (x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0 имеет вид:

y = -x / (1 + Cx)

где C - произвольная постоянная.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Для уравнения (dy)/x - 1 = (dx)/(y - 2) с начальным условием y(4) = 0:

Сначала разделим уравнение на (y - 2) * x:

(dy) / (y - 2) = dx / x

Теперь проинтегрируем обе части:

∫(dy) / (y - 2) = ∫dx / x

Это даст нам:

ln|y - 2| = ln|x| + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь применим начальное условие y(4) = 0:

ln|0 - 2| = ln|4| + C

-ln(2) = ln(4) + C

C = -ln(2) - ln(4) = -ln(8) = ln(1/8)

Таким образом, уравнение становится:

ln|y - 2| = ln|x| - ln(1/8)

Используем свойство логарифма: ln(a) - ln(b) = ln(a/b)

ln|y - 2| = ln|8x|

Теперь возведем обе части в экспоненту:

|y - 2| = |8x|

Теперь разберемся с модулями. У нас есть два случая:

1. y - 2 = 8x
2. y - 2 = -8x

Для каждого случая найдем соответствующее частное решение:

1. y = 8x + 2
2. y = -8x + 2

Таким образом, уравнение с разделяющимися переменными (dy)/x - 1 = (dx)/(y - 2) с начальным условием y(4) = 0 имеет два частных решения:

1. y = 8x + 2
2. y = -8x + 2