Question

≤6x-5-x^2, такие значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение

Answer 1

В числителе дроби под модулем стоит сумма квадратов – положительная величина:
$x^2+a(a-2x)+4=(x^2-2ax+a^2)+4=(x-a)^2+4=|x-a|^2+2^2$

Значит, модуль в числителе можно опустить. Вычтем из обеих частей неравенства 4:
$\dfrac{|x-a|^2+2^2}{|x-a|}-4\leqslant6x-9-x^2\\\dfrac{|x-a|^2-2\cdot2|x-a|+2^2}{|x-a|}\leqslant-(x^2-6x+9)\\\dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}\leqslant-(x-3)^2\\\dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}+(x-3)^2\leqslant0$

В левой части неравенства стоит сумма двух неотрицательных величин. Чтобы сумма оказалась неположительной, каждое из этих слагаемых должно быть равно нулю:
$\begin{cases}\dfrac{(|x-a|-2)^2}{|x-a|}=0\\(x-3)^2=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}|x-a|=2\\x=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\pm3\\x=3\end{cases}$

Итак, a = -1 или a = 5. Легко проверить, что при таких a подстановка x = 3 удовлетворяет исходному неравенству.

Ответ: a = -1 или a = 5.

Answer 2

Чтобы найти значения параметра а, при которых неравенство ≤ 6x - 5 - x^2 имеет хотя бы одно решение, нужно определить, при каких значениях а дискриминант квадратного трехчлена -x^2 + 6x - 5 будет неотрицательным.

Общая форма квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 имеет дискриминант D, который равен b^2 - 4ac. Если D ≥ 0, то у уравнения есть хотя бы один корень (действительный). Если D < 0, у уравнения нет действительных корней.

В данном случае у нас квадратный трехчлен -x^2 + 6x - 5, так что a = -1, b = 6, и c = -5.

Теперь найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac D = 6^2 - 4(-1)(-5) D = 36 - 20 D = 16

Чтобы у неравенства было хотя бы одно решение, дискриминант должен быть неотрицательным:

D ≥ 0 16 ≥ 0

Таким образом, неравенство имеет хотя бы одно решение для всех значений параметра а, так как дискриминант всегда положителен.