Question

Дано квадратное уравнение 3x^2 + 2x + 1 - a = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение:а) не имеет корнейб) имеет два равных корняв) имеет два различных корняг) не имеет корней на промежутке (-2;1)д) имеет два различных корня на промежутке (-2;1)е) имеет хотя бы один корень на промежутке (-2;1)ж) имеет ровно один корень на промежутке (-2;1)з) не имеет корней, больших 1

Answer 1

а) уравнение не имеет корней, когда D<0.

D=4-12(1-a)=12a-8<0

a<2/3

б) уравнение имеет 2 равных корня, когда D=0

12a-8=0

a=2/3 

в) уравнение имеет 2 различных корня, когда D>0

12a-8>0

a>2/3

г) данный случай включает в себя значения а из пункта а)

и рассмотрим случай, когда   D>0 и a>2/3

Тогда $x_1=\frac{-2-\sqrt{D}}{6}\leq{-2}$ и  $x_2=\frac{-2+\sqrt{D}}{6}\geq{1}$. Из первого неравенства следует, что $D\geq{100}$, из второго  $D\geq{64}$. Следовательно,   $D\geq{100}$.

12a-8>100

a>9

д) Значит D>0. И   $x_1=\frac{-2-\sqrt{D}}{6}\geq{-2}$ и  $x_2=\frac{-2+\sqrt{D}}{6}\leq{1}$. Тогда   $D\leq{64}$.

$0<12a-8\leq{64}$ 

$\frac{2}{3} <a \leq{6}$

е) Значит $D\geq{0}$.  

ж)

з) $x_2=\frac{-2+\sqrt{D}}{6}\leq{1}$ . Тогда   $0<D\leq{64}$.

$0<12a-8\leq{64}$

$\frac{2}{3}<a \leq{6}$

 

 

 

Answer 2

Исходное уравнение: 3x^2 + 2x + 1 - a = 0

а) Чтобы уравнение не имело корней, необходимо чтобы дискриминант был отрицательным: D = 2^2 - 4 * 3 * (1 - a) < 0 Раскрывая скобки и упрощая, получаем: 4 - 12(1 - a) < 0 Решаем неравенство: -12 + 12a < 0 Прибавляем 12 к обеим частям: 12a < 12 Делим на 12: a < 1 Таким образом, уравнение не имеет корней при значениях параметра a < 1.

б) Чтобы уравнение имело два равных корня, необходимо чтобы дискриминант был равен нулю: D = 2^2 - 4 * 3 * (1 - a) = 0 Раскрывая скобки и упрощая, получаем: 4 - 12(1 - a) = 0 Решаем уравнение: -12 + 12a = 0 Прибавляем 12 к обеим частям: 12a = 12 Делим на 12: a = 1 Таким образом, уравнение имеет два равных корня при значении параметра a = 1.

в) Чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо чтобы дискриминант был положительным: D = 2^2 - 4 * 3 * (1 - a) > 0 Раскрывая скобки и упрощая, получаем: 4 - 12(1 - a) > 0 Решаем неравенство: -12 + 12a > 0 Прибавляем 12 к обеим частям: 12a > 12 Делим на 12: a > 1 Таким образом, уравнение имеет два различных корня при значениях параметра a > 1.

г) Чтобы уравнение не имело корней на промежутке (-2;1), необходимо чтобы все корни уравнения были меньше -2 или больше 1. Из предыдущего пункта (в) мы уже знаем, что уравнение имеет два различных корня при значениях параметра a > 1. Следовательно, чтобы уравнение не имело корней на промежутке (-2;1), параметр a должен быть больше 1.

д) Так как в предыдущих пунктах мы уже нашли значения параметра a, при которых уравнение имеет два различных корня, то они и будут удовлетворять условию д) - уравнение имеет два различных корня на промежутке (-2;1).

е) Чтобы уравнение имело хотя бы один корень на промежутке (-2;1), необходимо чтобы хотя бы один из корней был больше -2 и меньше 1. Из предыдущего пункта (в) мы уже знаем, что уравнение имеет два различных корня при значениях параметра a > 1. Следовательно, чтобы уравнение имело хотя бы один корень на промежутке (-2;1), параметр a должен быть больше 1.

ж) Чтобы уравнение имело ровно один корень на промежутке (-2;1), необходимо чтобы дискриминант был равен нулю: D = 2^2 - 4 * 3 * (1 - a) = 0 Раскрывая скобки и упрощая, получаем: 4 - 12(1 - a) = 0 Решаем уравнение: -12 + 12a = 0 Прибавляем 12 к обеим частям: 12a = 12 Делим на 12: a = 1 Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на промежутке (-2;1) при значении параметра a = 1.

з) Чтобы уравнение не имело корней, больших 1, необходимо чтобы все корни уравнения были меньше или равны 1. Из предыдущего пункта (ж) мы уже знаем, что уравнение имеет ровно один корень на промежутке (-2;1) при значении параметра a = 1. Следовательно, чтобы уравнение не имело корней, больших 1, параметр a должен быть меньше или равен 1.