Question

Решите 3-ёх линейную систему уравнения методом Гаусса пожалуйста,даю 10 баллов каждому)): 1) x+y+z=4 x+2y+3z=7 x+y+5z=8

Answer 1

Представим систему уравнений в матричной форме:
[1, 1, 1 | 4]
[1, 2, 3 | 7]
[1, 1, 5 | 8]

Умножим первую строку на 1 и прибавим результат к строкам 2 и 3.
[1, 1, 1 | 4]
[0, 1, 2 | 3]
[0, 0, 4 | 4]

Разделим строку 3 на 4:
[1, 1, 1 | 4]
[0, 1, 2 | 3]
[0, 0, 1 | 1]

Умножим строку 3 на 1 и прибавим результат к строке 1:
[1, 1, 0 | 3]
[0, 1, 2 | 3]
[0, 0, 1 | 1]

Умножим строку 3 на 2 и прибавим результат к строке 2:
[1, 1, 0 | 3]
[0, 1, 0 | 1]
[0, 0, 1 | 1]

Умножим строку 2 на 1 и прибавим результат к строке 1:
[1, 0, 0 | 2]
[0, 1, 0 | 1]
[0, 0, 1 | 1]

Преобразуем расширенную матрицу в систему линейных уравнений:
{x = 2
{y = 1
{z = 1

Запишем решение системы:
(2, 1, 1)

Ответ: (2, 1, 1).

Answer 2

Для решения данной 3x3 линейной системы уравнений методом Гаусса, следуем шагам:

Шаг 1: Записываем расширенную матрицу системы уравнений:

[1 1 1 | 4] [1 2 3 | 7] [1 1 5 | 8]

Шаг 2: Производим элементарные преобразования, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (треугольной матрице).

a) Избавляемся от переменной x во втором и третьем уравнения, вычитая из второго уравнения первое уравнение, а из третьего уравнения первое уравнение:

[1 1 1 | 4] [0 1 2 | 3] [0 0 4 | 4]

b) Теперь избавляемся от переменной y в третьем уравнении, деля его на 4:

[1 1 1 | 4] [0 1 2 | 3] [0 0 1 | 1]

Шаг 3: Обратный ход. Начинаем с последнего уравнения и находим значения переменных, затем подставляем их в предыдущие уравнения, пока не найдем все переменные.

a) Значение z равно 1.

b) Подставим z = 1 во второе уравнение: 1y + 2(1) = 3, получаем y = 1.

c) Подставим y = 1 и z = 1 в первое уравнение: x + 1 + 1 = 4, получаем x = 2.

Таким образом, решение системы уравнений:

x = 2 y = 1 z = 1

Проверка: Подставим значения x, y, z в исходную систему уравнений:

1. 2 + 1 + 1 = 4 (верно)
2. 2 + 2(1) + 3(1) = 7 (верно)
3. 2 + 1 + 5(1) = 8 (верно)

Все уравнения выполняются, следовательно, полученное решение верно.