Question

Найдите целые решения неравенств x^2+x+6>0

Answer 1

- x² + x + 6 > 0 | * (- 1)

x² - x - 6 < 0

(x - 3)(x + 2) < 0

      +                    -                    +

________₀__________₀_________

               - 2                    3

                  ////////////////////

x ∈ (- 2 ; 3)

Answer 2

Для нахождения целых решений неравенства $x^2+x+6>0$, давайте рассмотрим его график на числовой оси.

Сначала найдем вершину параболы, которая является минимумом (поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, парабола открывается вверх). Вершина параболы имеет абсциссу $x = -\frac{b}{2a}$, где уравнение $ax^2+bx+c=0$ дано в общей форме. В данном случае $a = 1$ и $b = 1$:

$x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Теперь, чтобы определить знак выражения $x^2+x+6$, сравним его значение в точке $x = -\frac{1}{2}$ и какой-нибудь точке слева от вершины (например, $x = -1$) и справа от вершины (например, $x = 0$):

1. При $x = -1$: $(-1)^2 + (-1) + 6 = 6 > 0$

2. При $x = -\frac{1}{2}$: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} > 0$

3. При $x = 0$: $0^2 + 0 + 6 = 6 > 0$

Мы видим, что выражение $x^2+x+6$ положительно везде, кроме, возможно, некоторого интервала вокруг вершины. Но так как это квадратное уравнение, оно не пересекает ось $x$, и следовательно, не меняет знак. Таким образом, у неравенства нет целых решений. Оно верно для всех целых значений $x$.