Question

Найдите значение x, при которых числа 2x+1, 3x+1 и x^2+4 составляют арифметическую прогрессию

Answer 1

Ответ:

x=1   x=3

Объяснение:

обозначим а₁=2х+1   а₂=3х+1     а₃=х²+4

разность арифметической прогрессии d=a₂-a₁    d=a₃-a₂

d=3x+1-(2x+1)=x

d=x²+4-(3x+1)=x²-3x-+3

приравняем  x²-3x+3=x

                       x²-4x+3=0

D=(-4)²-4·3=16-12=4

используем теорему Виета  x₁+x₂=4   x₁·x₂=3   x₁=1   x₂=3

при х=1  а₁=3  а₂=4   а₃=5

при х=3 а₁=7  а₂=10  а₃=13

Answer 2

Для того чтобы числа $2x+1$, $3x+1$ и $x^2+4$ образовывали арифметическую прогрессию, разность между последовательными членами должна быть одинаковой.

Итак, выражаем разности:

1. Разность между вторым и первым членом:

$$d_1 = (3x + 1) - (2x + 1) = x.$$

2. Разность между третьим и вторым членом:

$$d_2 = (x^2 + 4) - (3x + 1) = x^2 - 3x + 3.$$

Теперь, если эти разности равны, то $x$ должно удовлетворять уравнению:

$$x = x^2 - 3x + 3.$$

Преобразуем уравнение:

$$0 = x^2 - 4x + 3.$$

Факторизуем его:

$$0 = (x - 3)(x - 1).$$

Отсюда следует, что $x = 1$ или $x = 3$.

Итак, у нас есть два возможных значения $x$ при которых числа $2x+1$, $3x+1$ и $x^2+4$ образуют арифметическую прогрессию: $x = 1$ и $x = 3$.