Question

Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 21; если к этим числам прибавить соответственно 2; 3 и 9, то получаются три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите числа, образующие геометрическую прогрессию. а) найдите два члена прогрессий б) найдите разность арифметической прогрессий

Answer 1

а) Для какой прогрессии? Для арифметической: 3; 7.

b) d = a₂ - a₁ = 7 - 3 = 4.

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность равна d. Тогда второй член будет равен (a + d), а третий член будет равен (a + 2d).

Из условия известно, что сумма трех чисел арифметической прогрессии равна 21:

a + (a + d) + (a + 2d) = 21

3a + 3d = 21

Уравнение 3a + 3d = 21 можно сократить на 3:

a + d = 7

Также из условия известно, что если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то получаются три числа геометрической прогрессии:

(a + 2) + (a + d + 3) + (a + 2d + 9)

(a + 2) / (a + d + 3) = (a + d + 3) / (a + 2d + 9)

(a + 2)^2 = (a + d + 3)^2

a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2ad + 6a + 9 + 2d + 6d + 9

4a - 2ad + 2d = 18

2a(2 - d) + 2d = 18

Уравнение 2a(2 - d) + 2d = 18 можно разделить на 2:

a(2 - d) + d = 9

Теперь у нас есть две уравнения:

a + d = 7 ...(1) a(2 - d) + d = 9 ...(2)

Решим эту систему уравнений. Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

a(2 - d) - a = 9 - 7

2a - ad - a = 2

a(2 - d - 1) = 2

a(1 - d) = 2

Так как мы ищем целочисленные решения, a может быть равно 1 или 2. Подставим значения a = 1 и a = 2 в уравнение (1) и найдем соответствующие значения d:

a + d = 7

1 + d = 7

d = 6

или

a + d = 7

2 + d = 7

d = 5

Таким образом, получаем два возможных варианта геометрической прогрессии:

а) Если a = 1 и d = 6, то числа образующие геометрическую прогрессию будут:

1, 7, 43

б) Если a = 2 и d = 5, то числа образующие геометрическую прогрессию будут:

2, 7, 28

Ответ: а) Числа образ