Question

Четыре члена составляют геометрическую прогрессию. Если ко второму члену этой прогрессии прибавить 4, а к третьему прибавить 5, то полученные четыре числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите четыре числа составляющие геометрическую прогрессию.

Answer 1

Г.п.(b(n))
b1;b2;b3;b4 - геометрическая прогрессия
b1; b2+4;b3+5;b4 - арифметическая прогрессия
b1; b1*q+4;b1*q$x^{2}$+5;b*q$x^{3}$
По свойству арифметической прогрессии,
b1*q+4-b1=b*q$x^{3}$-(b1*q$x^{2}$+5)
и
b1*q+4-b1=b1*q$x^{2}$+5-(b1*q+4)
Решаем систему
При решении системы получается ответ:
b1=3, а q=2
b2=3*2=6
b3=6*2=12
b4=12*2=24
Ответ: 3, 6, 12, 24

Answer 2

Давайте обозначим четыре члена геометрической прогрессии как \( a, ar, ar^2, ar^3 \), где \( a \) - первый член прогрессии, \( r \) - множитель прогрессии.

Также, у нас есть условие: если к второму члену \( ar \) прибавить 4, а к третьему члену \( ar^2 \) прибавить 5, то получим арифметическую прогрессию.

Из этого условия получаем два уравнения:

1. \( ar + 4 \) - второй член арифметической прогрессии. 2. \( ar^2 + 5 \) - третий член арифметической прогрессии.

Теперь посмотрим на определение арифметической прогрессии: каждый член равен предыдущему, увеличенному на определенную константу. Таким образом, мы можем записать:

\( ar + 4 = ar^2 \) (уравнение, исходя из арифметической прогрессии)

\( ar^2 + 5 = ar^3 \) (второе уравнение из условия)

Теперь давайте решим это систему уравнений.

Из уравнения \( ar + 4 = ar^2 \) можно выразить \( a \) через \( r \):

\[ a = \frac{4}{r - 1} \]

Теперь подставим \( a \) в уравнение \( ar^2 + 5 = ar^3 \):

\[ \frac{4r^2}{r - 1} + 5 = \frac{4r^3}{r - 1} \]

Решив это уравнение, мы найдем значения \( r \) и \( a \), которые помогут нам найти четыре числа геометрической прогрессии.