Question

Школьники занимаются прополкой огорода, который находится на пришкольном участке. Работают они с разной скоростью, а некоторые из них, как показывает практика, даже мешают общей работе, просто закапывая сорняки или перебрасывая их на участок соседа... Вчерашняя работа показала, что Вася и Полина выпалывают гряду за 11 мин, Полина и Серёжа выпалывают её же за 22 мин, Серёжа и Вася — за 33 мин. За сколько минут выполнят эту работу все вместе? СРОЧНО!! ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

За 12 минут выполнят эту работу ребята все вместе.

Объяснение:

Требуется определить, за сколько минут выполнят работу по прополке огорода трое ребят.

Известно, что

Вася и Полина выпалывают гряду за 11 мин,

Полина и Серёжа выпалывают её же за 22 мин,

Серёжа и Вася — за 33 мин.

Производительностью называют часть работы, выполненной в единицу времени.

Всю работу принимаем за 1.

1) Запишем производительность пар, по известному времени работы ребят в парах.

Производительность Васи и Полины равна $\displaystyle \frac{1}{11}$;

Производительность Полины и Сережи равна $\displaystyle \frac{1}{22}$;

Производительность Сережи и Васи равна $\displaystyle \frac{1}{33}$ .

2) Сумма этих величин равна удвоенной совместной производительности ребят, так как работа  каждого учтена дважды.

Найдем производительность троих ребят (а не шестерых) как сумму производительностей пар, деленную на 2.

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1^{\backslash 6}}{11} + \frac{1^{\backslash3}}{22} +\frac{1 ^{\backslash 2}}{33} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3 + 2}{66} =\\\\\\ = \frac{1}{2} \cdot\frac{11}{66} =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} =\frac{1}{12} .$

3) Чтобы найти время, за которое будет выполнена вся работа, нужно всю работу (мы ее приняли за 1) разделить на совместную производительность.

$\displaystyle 1: \frac{1}{12} = 1 \cdot \frac{12}{1} =12$  (мин).

Таким образом, трое ребят вместе выполнят работу за 12 минут.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод обратных величин. Давайте обозначим скорость работы каждого школьника следующим образом:

• Вася работает со скоростью V (гряду выпалывает за 1/V минут)
• Полина работает со скоростью P (гряду выпалывает за 1/P минут)
• Серёжа работает со скоростью S (гряду выпалывает за 1/S минут)

Из информации в задаче мы знаем следующее:

1. Вася и Полина выпалывают гряду за 11 минут, поэтому их совместная скорость работы равна 1/11 гряды в минуту: (1/V + 1/P) = 1/11.

2. Полина и Серёжа выпалывают гряду за 22 минут, поэтому их совместная скорость работы равна 1/22 гряды в минуту: (1/P + 1/S) = 1/22.

3. Серёжа и Вася выпалывают гряду за 33 минуты, поэтому их совместная скорость работы равна 1/33 гряды в минуту: (1/S + 1/V) = 1/33.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. (1/V + 1/P) = 1/11
2. (1/P + 1/S) = 1/22
3. (1/S + 1/V) = 1/33

Давайте решим эту систему уравнений. Для начала найдем обратные величины V, P и S:

1/V = (1/11 - 1/P) 1/P = (1/22 - 1/S) 1/S = (1/33 - 1/V)

Теперь сложим все три уравнения:

1/V + 1/P + 1/S = (1/11 - 1/P) + (1/22 - 1/S) + (1/33 - 1/V)

Теперь у нас есть общая скорость работы всех трех школьников:

1/V + 1/P + 1/S = (1/11 - 1/P) + (1/22 - 1/S) + (1/33 - 1/V)

Теперь упростим это уравнение:

1/V + 1/P + 1/S = (1/11 - 1/22) + (1/22 - 1/33)

1/V + 1/P + 1/S = (2/22) + (1/33)

1/V + 1/P + 1/S = (1/11) + (1/33)

1/V + 1/P + 1/S = 4/33

Теперь у нас есть общая скорость работы всех трех школьников:

1/V + 1/P + 1/S = 4/33

Инвертируем это уравнение, чтобы найти время, за которое они выполнят работу вместе:

1 / (1/V + 1/P + 1/S) = 1 / (4/33)

1 / (1/V + 1/P + 1/S) = 33/4

Теперь выразим время:

Время = 33/4 минуты

В итоге, все трое школьников выполнят работу вместе за 33/4 минуты, что равно 8.25 минутам.