Question

Вася вырезал из картона треугольник и пронумеровал его вершины цифрами 1, 2, 3. Оказалось, что если Васин треугольник повернуть 10 раз по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 1 на угол, равный углу при этой вершине, то он вернется в исходное положение. Если Васин треугольник повернуть 5 раз по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 2 на угол, равный углу при этой вершине, то он вернется в исходное положение. Вася утверждает, что если повернуть его треугольник n раз вокруг вершины под номером 3 на угол, равный углу при этой вершине, то он вернется в исходное положение. Какое минимальное n мог назвать Вася так, чтобы его утверждение было правдивым хотя бы для какого‑то картонного треугольника?​

Answer 1

Відповідь:

5

Пояснення:

Пусть угол 1 =а1, угол 2 =а2, и 3 =а3

10а1=360, поэтому а1=36°

5а2=360, а2=72°

а3=180-(а1+а2)=72°

n=5

Answer 2

Давайте рассмотрим сначала повороты треугольника относительно вершины под номером 1. Если треугольник поворачивается на угол, равный углу при вершине номер 1, то это означает, что после каждого такого поворота он вернется в исходное положение. Таким образом, минимальное положительное целое число \(m\), при котором \(10m\) делится на 360 (полный оборот), равно 36.

Аналогично, для вершины номер 2 минимальное положительное целое число \(k\), при котором \(5k\) делится на 360, равно 72.

Теперь рассмотрим вершину номер 3. Если треугольник поворачивается на угол, равный углу при вершине номер 3, то это означает, что после каждого такого поворота он вернется в исходное положение. Минимальное положительное целое число \(n\), при котором \(n\) делится как на 360 (полный оборот), так и на 36 и 72, это и будет ответом.

Наименьшее общее кратное (НОК) для 36, 72 и 360 - это 360. Поэтому минимальное положительное целое число \(n\), удовлетворяющее условиям задачи, равно 360.

Таким образом, Вася мог назвать минимальное значение \(n\) равное 360.