Question

Пусть верктор а равен (-1,m-2),b=(m+1,-1). При каком значении m векторы a+7b и 7a-b перпендикуляры

Answer 1

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат:

$\vec a(-1;m-2)\\\vec b(m+1;-1)\\\vec a+7\vec b=(-1+7(m+1);m-2-7)=(7m+6;m-9)\\7 \vec a-\vec b=(-7-m-1;7m-14+1)=(-8-m;7m-13)\\(\vec a+7\vec b) \cdot (7 \vec a- \vec b)=(7m+6)(-8-m)+(m-9)(7m-13)=\\=-56m-48-7m^2-6m+7m^2-63m-13m+117=\\=69-138m=0\\138m=69\\2m=1\\m=\dfrac 12.$

Answer 2

Для того чтобы векторы a + 7b и 7a - b были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

(a + 7b) · (7a - b) = a · (7a - b) + 7b · (7a - b)

Теперь выразим каждое скалярное произведение через компоненты векторов:

a · (7a - b) = (-1)(7(-1)) + (m-2)(7(m+1)) = 7 + 7(m-2)(m+1) = 7 + 7(m^2 - 2m + m + 1) = 7 + 7(m^2 - m - 1) = 7(1 + m^2 - m - 1) = 7(m^2 - m)

b · (7a - b) = (m+1)(7(-1)) + (-1)(7(m+1)) = -7(m+1) - 7(m+1) = -7(m+1 + m+1) = -7(2m+2) = -14(m+1)

Теперь приравняем полученные выражения к нулю и решим уравнение:

7(m^2 - m) - 14(m+1) = 0 7m^2 - 7m - 14m - 14 = 0 7m^2 - 21m - 14 = 0 m^2 - 3m - 2 = 0

Факторизуем уравнение:

(m - 2)(m + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для m: m = 2 и m = -1. Подставляя эти значения обратно в исходные выражения для векторов a и b, мы можем убедиться, что в этих случаях векторы a + 7b и 7a - b действительно будут перпендикулярными.