Question

Диск радіусом R=0.7 м обертається згідно рівнянню φ=A+Bt+Ct³, де А=5 рад , В=-3 рад/с , С=0.1 рад/с³. Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок кола диску для моменту часу t=5 с.

Answer 1

Для знаходження тангенціального, нормального і повного прискорення точок кола диску в момент часу t = 5 с, спочатку знайдемо значення кутової швидкості та кутового прискорення за заданим рівнянням φ = A + Bt + Ct³.

1. Знайдемо значення кутової швидкості (ω) та кутового прискорення (α) в момент часу t = 5 с:

Формула для кутової швидкості: ω = dφ/dt

Формула для кутового прискорення: α = d²φ/dt²

Для цього обчислимо похідні від φ за часом:

φ = A + Bt + Ct³

Перша похідна: dφ/dt = B + 3Ct²

Друга похідна: d²φ/dt² = 6Ct

Замінимо t на 5 с:

dφ/dt при t = 5 с: B + 3C(5 с)² = -3 + 3(0.1 рад/с³)(25 с²) = -3 + 7.5 рад/с = 4.5 рад/с

d²φ/dt² при t = 5 с: 6C(5 с) = 6(0.1 рад/с³)(5 с) = 3 рад/с²

2. Тепер, коли у нас є значення кутової швидкості та кутового прискорення, ми можемо обчислити тангенціальне (at), нормальне (an) і повне (a) прискорення точок кола диску за наступними формулами:

a_t = R * α a_n = R * ω² a = √(a_t² + a_n²)

a_t = 0.7 м * 3 рад/с² = 2.1 м/с² a_n = 0.7 м * (4.5 рад/с)² = 14.175 м/с²

Тепер обчислимо повне прискорення: a = √(2.1 м/с²)² + (14.175 м/с²)² ≈ √(4.41 + 201.51) ≈ √205.92 ≈ 14.36 м/с²

Отже, тангенціальне прискорення точок кола диску дорівнює 2.1 м/с², нормальне прискорення дорівнює 14.175 м/с², а повне прискорення дорівнює приблизно 14.36 м/с².