Question

Обчісліть площу, обмежаної вказоними лініями: y=-x^2+10x-16, y=x+2

Answer 1

Решение задачи на картинке

Answer 2

Для обчислення площі, обмеженої заданими лініями, ми можемо скористатися методом інтегрування. В даному випадку, нам потрібно знайти точки перетину двох функцій: y = -x^2 + 10x - 16 та y = x + 2.

Для знаходження точок перетину, ми можемо прирівняти ці дві функції одна до одної: -x^2 + 10x - 16 = x + 2

Щоб розв'язати це рівняння, спочатку перенесемо всі терміни на одну сторону: -x^2 + 10x - 16 - x - 2 = 0 -x^2 + 9x - 18 = 0

Тепер можемо використати квадратне рівняння для знаходження значень x: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку, a = -1, b = 9, c = -18. Підставимо ці значення у формулу: x = (-(9) ± √((9)^2 - 4(-1)(-18))) / (2(-1)) x = (-9 ± √(81 - 72)) / (-2) x = (-9 ± √9) / (-2) x = (-9 ± 3) / (-2)

Таким чином, отримуємо дві можливі значення для x: x = -6 та x = 3.

Тепер, щоб обчислити площу, ми можемо інтегрувати функції y = -x^2 + 10x - 16 та y = x + 2 від x = -6 до x = 3.

Спочатку розрахуємо площу, обмежену функцією y = -x^2 + 10x - 16: ∫[-6, 3] (-x^2 + 10x - 16) dx

Щоб інтегрувати цю функцію, ми використовуємо правило інтегрування: ∫(ax^n) dx = a/(n+1) * x^(n+1) + C

У нашому випадку, ми маємо: ∫(-x^2 + 10x - 16) dx = (-1/3) * x^3 + 5x^2 - 16x + C

Тепер, обчислимо вираз в межах від x = -6 до x = 3: [(-1/3) * (3)^3 + 5(3)^2 - 16(3)] - [(-1/3) * (-6)^3 + 5(-6)^2 - 16(-6)]

Після обчислення цього виразу, отримуємо значення площі, обмеженої функцією y = -x^2 + 10x - 16.

Тепер розрахуємо площу, обмежену функцією y = x + 2: ∫[-6, 3] (x + 2) dx

Знову використаємо правило інтегрування: ∫(ax^n) dx = a/(n+1) * x^(n+1) + C

У нашому випадку, ми маємо: ∫(x + 2) dx = (1/2) * x^2 + 2x + C

Тепер, обчислимо вираз в межах від x = -6 до x = 3: [(1/2) * (3)^2 + 2(3)] - [(1/2) * (-6)^2 + 2(-6)]

Після обчислення цього виразу, отримуємо значення площі, обмеженої функцією y = x + 2.

Нарешті, щоб знайти площу, обмежену вказаними лініями, ми можемо відняти площу, обмежену функцією y = x + 2 від площі, обмеженої функцією y = -x^2 + 10x - 16.

Отримані значення площі допоможуть визначити площу, обмежену вказаними лініями.