Question

Нужно найти экстремум функции u=x^2-2xy+2y^2+2x

Answer 1

Ответ:

=======================================

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения экстремума функции u = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x, необходимо применить метод частных производных. Этот метод позволяет найти точки, где градиент функции равен нулю или не существует. Такие точки могут являться локальными минимумами, максимумами или седловыми точками функции.

1. Нахождение частных производных

Для начала найдем частные производные функции u по каждой из переменных x и y. Для этого возьмем производные по очереди, считая все остальные переменные константами.

Частная производная по x (u_x): u_x = 2x - 2y + 2

Частная производная по y (u_y): u_y = -2x + 4y

2. Решение системы уравнений

Далее необходимо решить систему уравнений, приравняв обе частные производные к нулю:

2x - 2y + 2 = 0 (1) -2x + 4y = 0 (2)

Из уравнения (2) можно выразить x через y: x = 2y.

Подставим это выражение для x в уравнение (1):

2(2y) - 2y + 2 = 0 4y - 2y + 2 = 0 2y + 2 = 0 2y = -2 y = -1

Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в одно из исходных уравнений:

x = 2(-1) x = -2

3. Определение типа экстремума

Теперь, когда мы нашли точку, где частные производные равны нулю, нужно определить, является ли эта точка локальным минимумом, максимумом или седловой точкой. Для этого воспользуемся вторыми частными производными.

Вычислим вторые частные производные:

Частная производная по x дважды (u_xx): u_xx = 2

Частная производная по y дважды (u_yy): u_yy = 4

Частная производная по x и y (u_xy): u_xy = -2

4. Определение типа экстремума

Теперь можно определить тип экстремума, используя критерий Сильвестра. В данном случае, так как u_xx > 0 и u_xx * u_yy - u_xy^2 > 0, то точка (-2, -1) является локальным минимумом функции u = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x.

5. Значение функции в точке экстремума

Для нахождения значения функции в точке экстремума подставим найденные значения x и y в исходную функцию:

u(-2, -1) = (-2)^2 - 2(-2)(-1) + 2(-1)^2 + 2(-2) = 4 - 4 + 2 - 4 = -2

Таким образом, найденный локальный минимум функции u = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x равен -2 в точке (-2, -1).