Question

Знайдіть для функції f(x) = 3x^2− 2x + 1 первісну ,графік якої проходить через точку a(1 4)​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=3x^2-2x+1\\\\F(x)=\int (3x^2-2x+1)\, dx=\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+x+C=x^3-x^2+x+C$

Так как график первообразной проходит через точку А(1,4) , то подставив координаты точки А в уравнение первообразной, найдём нужную нам константу С.

$A(1;4):\ 4=1^3-1^2+1+C\ \ ,\ \ 4=1+C\ \ ,\ \ C=3\ \ \ \Rightarrow \\\\\boxed{\ F(x)=x^3-x^2+x+3\ }$

Answer 2

Первісна функції f(x) = 3x^2 - 2x + 1 - це функція F(x), яка задовольняє умову F'(x) = f(x).

Для знаходження першої похідної функції f(x), ми застосовуємо правила диференціювання. Диференціюючи кожен доданок окремо, отримуємо:

f'(x) = 6x - 2

Тепер, щоб знайти функцію F(x), яка є первісною для f(x), ми інтегруємо f'(x):

F(x) = ∫ (6x - 2) dx

Інтегрування кожного доданку окремо дає:

F(x) = 3x^2 - 2x + C

де C - це довільна константа.

Знаючи точку a(1, 4), ми можемо використати цю інформацію, щоб знайти значення константи C. Підставляємо значення x = 1 і y = 4 у функцію F(x):

4 = 3(1)^2 - 2(1) + C 4 = 3 - 2 + C 4 = 1 + C

Віднімаємо 1 з обох боків рівняння:

3 = C

Таким чином, значення константи C дорівнює 3.

Отже, первісна функції f(x) = 3x^2 - 2x + 1, графік якої проходить через точку a(1, 4), має вигляд:

F(x) = 3x^2 - 2x + 3