Question

Найдите значение выражения f'(1)+f(1), если f(x)=2x-3✓x​

Answer 1

Формула для нахождения производной:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Из неё, в частности, следует:

$x'=1$

$(\sqrt{x} )'=\dfrac{1}{2\sqrt{x} }$

Кроме этого:

$(Cf(x))'=Cf'(x)$

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

Рассмотрим исходную функцию:

$f(x)=2x-3\sqrt{x}$

Находим производную:

$f'(x)=(2x-3\sqrt{x})'=(2x)'-(3\sqrt{x})'=2x'-3(\sqrt{x})'=$

$=2\cdot1-3\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x} }=2-\dfrac{3}{2\sqrt{x} }$

Находим значения функции и ее производной в точке 1:

$f(1)=2\cdot1-3\cdot\sqrt{1} =2-3=-1$

$f'(1)=2-\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{1} }=2-\dfrac{3}{2} =\dfrac{1}{2}=0.5$

Тогда:

$f(1)+f'(1)=-1+0.5=-0.5$

Ответ: -0.5

Answer 2

Для нахождения значения выражения \(f'(1) + f(1)\), давайте сначала найдем производную функции \(f(x)\) и затем подставим \(x = 1\).

Исходная функция: \[ f(x) = 2x - 3 \sqrt{x} \]

Теперь найдем производную \(f'(x)\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3 \sqrt{x}) \]

Для нахождения производной каждого слагаемого, используем правила дифференцирования. Для первого слагаемого (2x) производная равна 2, а для второго слагаемого \(-3 \sqrt{x}\) используем правило степенной функции: \[ \frac{d}{dx}(-3 \sqrt{x}) = -\frac{3}{2 \sqrt{x}} \]

Теперь соберем производную: \[ f'(x) = 2 - \frac{3}{2 \sqrt{x}} \]

Теперь подставим \(x = 1\), чтобы найти значение производной в точке \(x = 1\): \[ f'(1) = 2 - \frac{3}{2 \sqrt{1}} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем значение самой функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\): \[ f(1) = 2 \cdot 1 - 3 \sqrt{1} = 2 - 3 = -1 \]

Теперь сложим значения \(f'(1) + f(1)\): \[ \frac{1}{2} + (-1) = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, значение выражения \(f'(1) + f(1)\) равно \(-\frac{1}{2}\).