Question

В геометрической прогрессии (bn) известно,что q = 2, S3 = 635 a) Найдите первый член и шестой член этой прогрессии.b) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. ​

Answer 1

Ответ:

$\bf q=2\ ,\ \ S_3=635$  

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна

$\bf a)\ \ S_3=\dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q}\\\\\\\dfrac{b_1(1-2^3)}{1-2}=635\ \ ,\ \ \ \dfrac{-7b_1}{-1}=635\ \ ,\ \ \ \ b_1=\dfrac{635}{7}=90\dfrac{5}{7}\\\\\\b_6=b_1\cdot q^5=\dfrac{635}{7}\cdot 2^5=\dfrac{635\cdot 32}{7}=\dfrac{20320}{7}=2902\dfrac{6}{7}\\\\\\b)\ \ S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{635(1-32)}{7(1-2)}=\dfrac{-635\cdot 31}{-7}=\dfrac{19685}{7}=2812\dfrac{1}{7}$  

Answer 2

Для решения этой задачи давайте вспомним формулы для элементов и суммы геометрической прогрессии.

Формула общего члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - множитель прогрессии.

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\), где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

У нас даны значения \(q = 2\) и \(S_3 = 635\).

а) Найдем первый член \(b_1\) и шестой член \(b_6\) прогрессии:

Из формулы общего члена прогрессии \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\) можем выразить \(b_1\):

\[b_1 = \frac{{b_3}}{{q^2}}\]

Так как \(b_3\) известно (\(S_3 = 635\)), то:

\[b_1 = \frac{{S_3}}{{q^2}} = \frac{{635}}{{2^2}} = \frac{{635}}{{4}} = 158.75\]

Теперь найдем шестой член \(b_6\):

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5\]

\[b_6 = 158.75 \cdot 2^5 = 158.75 \cdot 32 = 5080\]

б) Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов прогрессии:

\[S_5 = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^5)}}{{1 - q}}\]

Подставим известные значения:

\[S_5 = \frac{{158.75 \cdot (1 - 2^5)}}{{1 - 2}} = \frac{{158.75 \cdot (1 - 32)}}{{-1}} = \frac{{158.75 \cdot (-31)}}{{-1}} = \frac{{-4921.25}}{{-1}} = 4921.25\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \(4921.25\).