Question

Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3; -4) и уравнения двух высот: 7х-2у-1=0 и 2х-7у- 6=0. ( С чертежом)​

Answer 1

Стороны треугольника перпендикулярны высотам.

Используем свойство уравнения перпендикулярной прямой.

Для прямой Ах + Ву + С1 = 0 перпендикулярная прямая имеет такое уравнение: Вх - Ау+ С2 = 0.

Находим:

АВ: 7х + 2у + С = 0. Подставим координаты точки А.

7*3 + 2*(-4) + С = 0, отсюда С = 8 - 21 = -13.

Уравнение АВ: 7х + 2у - 13 = 0.

Аналогично для АС:

АС: 2х + 7у + С = 0. Подставляем координаты точки А.

2*3 + 7*(-4) + С = 0, отсюда С = 28 - 6 = 22.

Уравнение АС: 2х + 7у + 22 = 0.

Находим координаты точек В и С как точки пересечения прямых - стороны и высоты.

Получаем: В(1; 3) и С(-4; -2).

Уравнение ВС: х - у + 2 = 0.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3; -4) и уравнения двух высот, давайте начнем с поиска вершин треугольника, в которых высоты пересекают его стороны. Эти вершины будут пересечениями соответствующих прямых высот.

Первая высота имеет уравнение: 7x - 2y - 1 = 0.

Для нахождения первой вершины треугольника, пересекающей первую высоту, мы можем решить систему уравнений:

1. Уравнение прямой высоты: 7x - 2y - 1 = 0.
2. Уравнение прямой, проходящей через вершину A(3; -4) и перпендикулярной первой высоте. Угол между прямой высоты и этой прямой будет 90 градусов, поскольку высота перпендикулярна стороне треугольника.

Для нахождения уравнения второй прямой (перпендикулярной первой высоте и проходящей через A), мы сначала найдем уравнение наклона первой высоты и затем используем его обратный наклон для получения уравнения второй прямой.

Уравнение первой высоты: 7x - 2y - 1 = 0.

Преобразуем его в уравнение вида y = mx + b, где m - коэффициент наклона:

7x - 2y - 1 = 0 -2y = -7x + 1 y = (7/2)x - 1/2

Таким образом, уголовой коэффициент первой высоты равен m1 = 7/2.

Теперь найдем уравнение второй прямой. Уголовой коэффициент второй прямой (перпендикулярной первой высоте) будет равен обратному обратному наклону первой прямой. Таким образом, уголовой коэффициент второй прямой m2 будет равен -2/7.

Теперь мы знаем, что вторая прямая проходит через вершину A(3; -4). Используя уравнение прямой в общем виде, где (x0, y0) - координаты вершины, а m2 - угловой коэффициент второй прямой:

y - y0 = m2(x - x0)

Подставляем известные значения:

y - (-4) = (-2/7)(x - 3)

y + 4 = (-2/7)(x - 3)

y + 4 = (-2/7)x + (6/7)

Теперь мы знаем уравнение второй прямой, проходящей через вершину A.

Теперь, для нахождения третьей вершины треугольника, пересекающей вторую высоту, мы решим систему уравнений:

1. Уравнение прямой второй высоты: 2x - 7y - 6 = 0.
2. Уравнение прямой, проходящей через вершину A(3; -4) и перпендикулярной второй высоте. Угол между прямой второй высоты и этой прямой также будет 90 градусов.

Уголовой коэффициент второй высоты m3 равен -2/7.

Уголовой коэффициент третьей прямой m4 (перпендикулярной второй высоте) будет равен обратному обратному наклону второй прямой, то есть m4 = 7/2.

Теперь мы знаем, что третья прямая проходит через вершину A(3; -4). Используя уравнение прямой в общем виде, где (x0, y0) - координаты вершины, и m4 - угловой коэффициент третьей прямой:

y - y0 = m4(x - x0)

Подставляем известные значения:

y - (-4) = (7/2)(x - 3)

y + 4 = (7/2)(x - 3)

y + 4 = (7/2)x - (21/2)

Теперь у нас есть уравнения всех трех сторон треугольника. Уравнение первой стороны, проходящей через вершину A и перпендикулярной первой высоте, имеет вид:

y + 4 = (-2/7)x + (6/7)

Уравнение второй стороны, проходящей через вершину A и перпендикулярной второй высоте:

y + 4 = (7/2)x - (21/2)

И уравнение третьей стороны, проходящей через вершину A и перпендикулярной третьей высоте:

y + 4 = (-2/7)x + (6/7)

Это уравнения сторон треугольника, зная вершину A и уравнения двух высот.