Question

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(0;2) и уравнения высот  x+y-4=0 и  y=2x, где M-точка пересечения высот.

Answer 1

Вершина  А(0,2) ,
высота ВН (BM):  х+у-4=0  ⇒  х+у=4 ,
высота СK (CM):  у=2х  ⇒  2х-у=0.
Точка А(0,2) не принадлежит ни одной из высот, т.к. при подстановке её координат в уравнения высот не получаем верные равенства:
х+у=0+2=2≠4
у=2х  ⇒  2х=2·0=0≠2 .
Найдём координаты точки пересечения высот, точки М:

$\left \{ {{x+y=4} \atop {2x-y=0}} \right. \; \left \{ {{3x=4} \atop {y=2x}} \right. \; \left \{ {{x=\frac{4}{3}} \atop {y=\frac{8}{3}}} \right. \; \; M( \frac{4}{3}; \frac{8}{3} )$

Высота ВН имеет нормальный вектор n₁=(1,1). Он является для стороны АС направляющим вектором s₁=(1,1) . Тогда уравнение АС:

$AC:\; \; \frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{1}\quad \to \quad x=y-2\; ,\; \underline {y=x+2}$

Высота СК имеет нормальный вектор n₂=(2,-1). Он явл. направляющим вектором для стороны АВ:

$AB:\; \; \frac{x-0}{2}= \frac{y-2}{-1}\; \; \to \; \; -x=2y-4\; ,\; \; 2y=-x+4,\; \underline {y=-\frac{x}{2}+2}$

Чтобы найти уравнение стороны ВС, надо знать координату одной точки на ВС, например точки В или С, и вектор нормальный или направляющий. Мы можем найти нормальный вектор для ВС, это будет вектор АМ, т.к.  точка М  - точка пересечения высот.
Найдём координаты точки В как точку пересечения высоты ВН и стороны АВ:


$\left \{ {{x+y=4} \atop {x+2y=4}} \right. \; \ominus \left \{ {{x=4-y} \atop {-y=0}} \right. \; \left \{ {{x=4} \atop {y=0}} \right. \; \; B( 4; 0)$

$\overline {AM}=(0- \frac{4}{3};2- \frac{8}{3})=(-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3} )\\\\BC:\; \; -\frac{4}{3}\cdot (x-4)- \frac{2}{3}\cdot (y-0)=0|\cdot (-3)\\\\4\cdot (x-4)+2y=0\\\\ 4x+2y-16=0|:2\\\\2x+y-8=0\\\\BC:\; \; \underline {y=-2x+8}$

Answer 2

Чтобы составить уравнения сторон треугольника, нам нужно найти координаты двух других вершин, используя данную вершину A(0;2) и уравнения высот.

Уравнение высоты x + y - 4 = 0 может быть записано в виде y = 4 - x.

Уравнение высоты y = 2x уже дано.

Пересечение этих двух уравнений даст координаты точки M, которая является точкой пересечения высот:

4 - x = 2x

4 = 3x

x = 4/3

Подставим x обратно в одно из уравнений высот, например, в y = 2x:

y = 2 * (4/3)

y = 8/3

Таким образом, координаты точки M равны M(4/3; 8/3).

Теперь у нас есть координаты вершин A(0;2) и M(4/3; 8/3). Чтобы найти координаты третьей вершины, нам нужно использовать факт, что точка M является серединой высоты.

Пусть третья вершина имеет координаты B(xb; yb).

Середина отрезка AM имеет координаты ((0 + 4/3)/2, (2 + 8/3)/2), что равно (2/3, 10/3).

Используя это, мы можем записать уравнения для нахождения координат третьей вершины:

(xb + 0)/2 = 2/3

(xb + 4/3)/2 = 10/3

Решая эти уравнения, найдем xb и yb:

xb = 4/3

yb = 16/3

Таким образом, координаты третьей вершины B равны B(4/3; 16/3).

Теперь у нас есть координаты всех трех вершин треугольника: A(0;2), M(4/3; 8/3) и B(4/3; 16/3).