Question

Розв'яжіть рівняння x³+3x²-4x-12=0​

Answer 1

Ответ:

$x_1=-3~;~x_2=-2~;~x_3=2.$

Объяснение:

$x^3+3x^2-4x-12=0\\x^2(x+3)-4(x+3)=0\\(x+3)(x^2-4)=0\\1)~x+3=0\to x=-3~;\\2)~x^2-4=0\to x^2=4\to x=\pm\sqrt{4} \to x=\pm2.$

Answer 2

x³ + 3x² - 4x - 12 = 0​

x^2 (x + 3) - 4 (x + 3) = 0

(x^2 - 4)(x + 3) = 0

(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, тому:

[ x - 2 = 0

[ x + 2 = 0

[ x + 3 = 0

[ x = 2

[ x = -2

[ x = -3

Відповідь: х = -3, -2 або 2.

Answer 3

Щоб розв'язати це рівняння, спробуємо використати метод раціональних коренів або метод перебору.

Метод раціональних коренів

У цьому методі шукаються всі раціональні числа, які можуть бути коренями рівняння. Раціональні корені можуть бути представлені у вигляді дробів p/q, де p - ціле число, а q - ціле число, що не ділить p. За теоремою Раціональних коренів, всі раціональні корені рівняння з цілими коефіцієнтами можуть бути представлені у вигляді дробів p/q, де p - дільник вільного члена (у нашому випадку -12), а q - дільник коефіцієнта при найвищій степені (у нашому випадку 1).

Отже, ми шукаємо раціональні числа, які є дільниками числа 12. Вони можуть бути позитивними або негативними. Такі числа включають ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 та ±12.

Перевірка раціональних коренів

Для кожного з цих чисел проведемо перевірку, підставивши їх у рівняння і перевіривши, чи рівняння стає рівним нулю.

1. Підставимо x = 1: 1³ + 3(1)² - 4(1) - 12 = 1 + 3 - 4 - 12 = -12 Рівняння не стає рівним нулю.

2. Підставимо x = -1: (-1)³ + 3(-1)² - 4(-1) - 12 = -1 + 3 + 4 - 12 = -6 Рівняння не стає рівним нулю.

3. Підставимо x = 2: 2³ + 3(2)² - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 Рівняння стає рівним нулю. Це означає, що x = 2 є одним з коренів рівняння.

4. Підставимо x = -2: (-2)³ + 3(-2)² - 4(-2) - 12 = -8 + 12 + 8 - 12 = 0 Рівняння стає рівним нулю. Це означає, що x = -2 є одним з коренів рівняння.

5. Підставимо x = 3: 3³ + 3(3)² - 4(3) - 12 = 27 + 27 - 12 - 12 = 30 Рівняння не стає рівним нулю.

6. Підставимо x = -3: (-3)³ + 3(-3)² - 4(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0 Рівняння стає рівним нулю. Це означає, що x = -3 є одним з коренів рівняння.

7. Підставимо x = 4: 4³ + 3(4)² - 4(4) - 12 = 64 + 48 - 16 - 12 = 84 Рівняння не стає рівним нулю.

8. Підставимо x = -4: (-4)³ + 3(-4)² - 4(-4) - 12 = -64 + 48 + 16 - 12 = -12 Рівняння не стає рівним нулю.

9. Підставимо x = 6: 6³ + 3(6)² - 4(6) - 12 = 216 + 108 - 24 - 12 = 288 Рівняння не стає рівним нулю.

10. Підставимо x = -6: (-6)³ + 3(-6)² - 4(-6) - 12 = -216 + 108 + 24 - 12 = -96 Рівняння не стає рівним нулю.

11. Підставимо x = 12: 12³ + 3(12)² - 4(12) - 12 = 1728 + 432 - 48 - 12 = 2100 Рівняння не стає рівним нулю.

12. Підставимо x = -12: (-12)³ + 3(-12)² - 4(-12) - 12 = -1728 + 432 + 48 - 12 = -1260 Рівняння не стає рівним нулю.

Отже, ми знайшли два раціональних кореня: x = 2 та x = -3.

Розкладання на множники

Після знаходження двох коренів, ми можемо розкласти рівняння x³ + 3x² - 4x - 12 = 0 на множники, використовуючи отримані корені.

x - 2 є одним з множників, оскільки (x - 2) * 0 = 0, коли x = 2. x + 3 є одним з множників, оскільки (x + 3) * 0 = 0, коли x = -3.

Тепер, ми можемо розкласти рівняння наступним чином: (x - 2)(x + 3) = 0

Таким чином, рівняння x³ + 3x² - 4x - 12 = 0 розкладається на множники (x - 2)(x + 3) = 0.

Знаходження третього кореня

Щоб знайти третій корінь, ми можемо поділити рівняння на (x - 2)(x + 3).

(x³ + 3x² - 4x - 12) / (x - 2)(x + 3) = 0

Після виконання ділення, отримаємо:

x² - x - 6 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації, завдяки чому отримаємо третій корінь.

(x - 3)(x + 2) = 0

Таким чином, отримали ще два корені: x = 3 та x = -2.

Відповідь

Отже, рівняння x³ + 3x² - 4x - 12 = 0 ма