Question

Один із коренів даного рівняння менший від другого на 2. Знайдіть коефіцієнт n та корені рівняння: x^2+8x+с=0​

Answer 1

Ответ:

c = 15;
x₁ = -3;
x₂ = -5.

Объяснение:

Дано: x₁ = x₂+2
x²+8x+с=0​

Найти: c, x₁, x₂

Решение: В стандартном квадратном уравнении вида ax²+bx+c при а=1 действует теорема Виета.
По т. Виета:
$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-8} \atop {x_1*x_2=c}} \right. < = > \left \{ {{x_2+2+x_2=-8} \atop {(x_2+2)*x_2=c}} \right. < = > \left \{ {{2x_2=-10|:2} \atop {(x_2+2)*x_2=c}} \right. < = >$
$\displaystyle \left \{ {{x_2=-5} \atop {(-5+2)*(-5)=c}} \right. < = > \left \{ {{x_2=-5} \atop {c=15}} \right.$
x₁ = -5+2;
x₁ = -3

Проверка:
Квадратный трёхчлен вида ax²+bx+c можно разложить на a(x-x₁)(x-x₂)
x²+8x+15 = (х-(-3))(х-(-5));
x²+8x+15 = (х+3)(х+5)
x²+8x+15 = x²+5х+3х+15
x²+8x+15 = x²+8x+15
Верно!

Answer 2

Запишемо дане квадратне рівняння:

\[ x^2 + 8x + c = 0 \]

За умовою ми знаємо, що один з коренів менший від іншого на 2. Позначимо менший корінь через \( x_1 \), а більший через \( x_2 \). Також, знаючи, що сума коренів квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) дорівнює \( -\frac{b}{a} \), можемо записати відомі властивості:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{8}{1} = -8 \] \[ x_1 \cdot x_2 = c \]

Ми також знаємо, що один корінь менший від іншого на 2, тобто \( x_2 = x_1 + 2 \).

Тепер можемо підставити ці вирази у рівняння:

\[ x_1 + (x_1 + 2) = -8 \]

Розв'яжемо це рівняння:

\[ 2x_1 + 2 = -8 \]

\[ 2x_1 = -10 \]

\[ x_1 = -5 \]

Тепер, знаючи \( x_1 \), можемо знайти \( x_2 \):

\[ x_2 = x_1 + 2 = -5 + 2 = -3 \]

Отже, корені рівняння \( x^2 + 8x + c = 0 \) дорівнюють -5 та -3. Також, ми можемо знайти значення параметра \( c \), використовуючи формулу для добутку коренів:

\[ c = x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-3) = 15 \]

Отже, коефіцієнт \( n \) відсутній у вихідному рівнянні.