Question

ДОПОМОЖІТЬ, БУДЬ ЛАСКА ! Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.4x^2+9y^2+32x-54y+109=0​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Щоб звести рівняння кривої до канонічного вигляду, необхідно спробувати виділити повні квадрати використовуючи метод доповнення до квадрату для кожного змінного окремо. Розглянемо спочатку змінну x:

4x^2 + 32x + 9y^2 - 54y + 109 = 0

4(x^2 + 8x) + 9(y^2 - 6y) + 109 = 0

4(x^2 + 8x + 16) - 4(16) + 9(y^2 - 6y + 9) - 9(9) + 109 = 0

4(x + 4)^2 + 9(y - 3)^2 = 16 + 81 - 109 = -12

Тепер, щоб знайти вид кривої, необхідно порівняти коефіцієнти перед x^2 та y^2. У даному випадку, коефіцієнт перед x^2 додатній, а коефіцієнт перед y^2 додатній, тому ця крива є еліпсом. Параметри еліпса можна знайти за допомогою стандартних формул:

Центр: (-4, 3)

Довга ось: 2 * sqrt(3)

Коротка ось: 2 / sqrt(3)

Фокуси: (-4, 3 + sqrt(15)/2) та (-4, 3 - sqrt(15)/2)

Для того, щоб побудувати криву, можна використовувати ці параметри та малювати еліпс за допомогою транспортування та розтягнення кола.

Answer 2

Щоб звести рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду, спробуємо використати завершення квадрату для обох змінних x та y. Рівняння має вигляд:

\[4x^2 + 9y^2 + 32x - 54y + 109 = 0.\]

Для спрощення обчислень спробуємо групування змінних за кожним членом:

\[4x^2 + 32x + 9y^2 - 54y + 109 = 0.\]

Тепер розділимо члени за x та y:

\[4(x^2 + 8x) + 9(y^2 - 6y) + 109 = 0.\]

Далі додаємо і віднімає константи, які допоможуть нам завершити квадрат. Для x це \(4 \cdot (\frac{8}{2})^2 = 64\), а для y це \(9 \cdot (\frac{6}{2})^2 = 81\):

\[4(x^2 + 8x + 64) + 9(y^2 - 6y + 81) + 109 - 256 - 729 = 0.\]

Тепер ми маємо:

\[4(x + 4)^2 + 9(y - 3)^2 - 876 = 0.\]

Прибравши зайві константи та поділивши на \(4 \cdot 9 = 36\), отримаємо канонічний вигляд:

\[(x + 4)^2/9 + (y - 3)^2/4 = 1.\]

Це рівняння вже вказує, що ми маємо еліпс з центром у точці (-4, 3), осі \(x\) та \(y\) розтягнуті відносно центру і відстань від центру до фокусів дорівнює \(c = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).

Таким чином, крива має канонічний вигляд:

\[\frac{(x + 4)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1.\]

Щоб побудувати криву, можна використовувати це рівняння, знаючи, що центр еліпса знаходиться у точці (-4, 3), а вісі розтягнуті відносно центру.