Question

9. Число 5 є один із коренiв рiвняння 3х² + kx - 15 -0. Знайдіть другий корінь i значення параметра к.​

Answer 1

Пояснення:

$\displaystyle\\3x^2+kx-15=0\ |:3\ \ \ \ \ \ x_1=5\ \ \ \ \ \ x_2=?\ \ \ \ \ \ \ k=?\\\\x^2+\frac{k}{3} x-5=0\\\\\left \{ {{x_1+x_2=-\frac{k}{3} } \atop {x_1*x_2=-5}} \right. \ \ \ \ \ \ \left \{ {{5+x_2=-\frac{k}{3} } \atop {5*x_2=-5\ |:5}} \right.\ \ \ \ \ \ \left \{ {{5+(-3)=-\frac{k}{3}\ |*(-3) } \atop {x_2=-1}} \right.\ \ \ \ \ \ \left \{ {{k=-12} \atop {x_2=-1}} \right. .$

Відповідь: х₂=-1,  k=-12.

Answer 2

Для розв'язання цього рівняння використаємо квадратне рівняння, оскільки воно має форму 3х² + kx - 15 = 0, де a = 3, b = k, і c = -15.

Квадратне рівняння має такий вигляд:

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння має вигляд:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

У нашому випадку:

\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4(3)(-15)}}{2(3)}. \]

Згідно з умовою, ми знаємо, що один із коренів цього рівняння дорівнює 5. Позначимо його як x₁:

\[ x_1 = 5. \]

Тоді:

\[ 5 = \frac{-k + \sqrt{k^2 - 4(3)(-15)}}{6}. \]

Множимо обидві сторони на 6, щоб позбутися знаменника:

\[ 30 = -k + \sqrt{k^2 - 4(3)(-15)}. \]

Піднесемо обидві сторони до квадрата, щоб позбавитися кореня:

\[ 900 = k^2 - 4(3)(-15). \]

Спростимо вираз:

\[ 900 = k^2 + 180. \]

Віднімемо 180 від обох боків:

\[ 720 = k^2. \]

Тепер визначимо значення параметра k, підіймаючи обидві сторони до квадратного кореня:

\[ k = \pm \sqrt{720}. \]

Спростимо вираз:

\[ k = \pm 12\sqrt{5}. \]

Отже, два значення параметра \( k \) можуть бути \( 12\sqrt{5} \) або \( -12\sqrt{5} \).