Question

При яких значеннях параметра ф сума коренiв рiвняння x^2-2a(x-1)-1=0 дорiвнюе сумi квадратiв його коренiв

Answer 1

task/30046639   x² - 2a(x -1) -1 =0  ;  x₁ +x₂ =x₁² +x₂²   ; a -  ?

решение   x² - 2a(x -1) -1 = 0 ⇔x² - 2ax +2a -1 =0

x₁ +x₂ =x₁² +x₂²⇔ x₁ +x₂ =(x₁ +x₂)² - 2x₁*x₂ || x₁ +x₂ =2a ; x*x₂=2a -1 т.Виета ||

2a  =(2a)²- 2(2a -1) ⇔ 2a=4a²- 4a + 2  =0 ⇔ 4a²- 6a + 2 =0 ⇔2a²-3a +1 =0 ⇔

[ a = 1 ; a = 1/2 .

ответ:  0,5 ; 1 .

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння x^2 - 2ax + (a^2 - 1) = 0, де a - параметр.

Сума коренів цього квадратного рівняння може бути знайдена за допомогою формули суми коренів: S = -b/a, де b - коефіцієнт при x, a - коефіцієнт при x^2.

У нашому випадку b = -2a, тому сума коренів буде S = -(-2a)/1 = 2a.

Сума квадратів коренів рівняння дорівнює квадрату суми коренів: S^2 = (2a)^2 = 4a^2.

Тепер умова задачі вимагає, щоб сума коренів дорівнювала сумі квадратів його коренів:

2a = 4a^2.

Далі розв'язуємо це рівняння:

4a^2 - 2a = 0.

Факторизуємо:

2a(2a - 1) = 0.

Таким чином, два значення параметра a, при яких сума коренів рівняння дорівнює сумі квадратів його коренів, це a = 0 та a = 1/2.