Question

Внутри треугольника выбраны две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 2, 4 и 8, а от другой (стороны рассматриваются в том же порядке) — 4, 5 и 7. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Answer 1

Пусть а, b, c - стороны треугольника, к которым проведены соответствующие отрезки. Тогда, если S - площадь треугольника, то 2S=2a+4b+8c и 2S=4a+5b+7c. Вычитая эти равенства, получим 2a+b=c. Значит 2S=2a+4b+8(2a+b)=18a+12b.
Радиус вписанной окружности равен  
2S/(a+b+c)=(18a+12b)/(a+b+(2a+b))=(18a+12b)/(3a+2b)=6(3a+2b)/(3a+2b)=6.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в треугольник:

r = S / p,

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Для начала найдем полупериметр треугольника. Пусть a, b, c - длины сторон треугольника, тогда полупериметр p = (a + b + c) / 2.

Теперь найдем площадь треугольника. Обозначим через s1, s2, s3 - расстояния от выбранных точек до сторон треугольника. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Теперь подставим найденные значения полупериметра и площади в формулу для радиуса вписанной окружности:

r = S / p.

Таким образом, найдем радиус вписанной окружности в данный треугольник.