Question

Знайти перший член нескінченої спадної геометричної прогресії, якщо S5=11/8, S=4/3

Answer 1

Якщо моя відповідь Вам допомогла, буду вдячний, якщо ви оціните її, як найкращу;)

Для знаходження першого члену нескінченної спадної геометричної прогресії, потрібно знайти співвідношення між сумою скінченної геометричної прогресії та сумою нескінченної геометричної прогресії.

Сума n перших членів геометричної прогресії з першим членом a та знаменником q дорівнює:

S_n = a(1 - q^n)/(1 - q)

Тоді, якщо q < 1, при n → ∞, q^n → 0, і ми можемо записати суму нескінченної геометричної прогресії:

S = a/(1 - q)

Також, нам дано, що:

S_5 = 11/8

S = 4/3

Підставляючи значення S_5, S, та n=5 у формулу суми перших 5 членів геометричної прогресії, ми можемо знайти q:

11/8 = a(1 - q^5)/(1 - q)

4/3 = a/(1 - q)

Розв'язуючи цю систему рівнянь, ми знаходимо, що q = 2/3, a = 8/27.

Отже, перший член нескінченої спадної геометричної прогресії дорівнює 8/27.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використовуємо формулу суми геометричної прогресії:

S = a / (1 - r),

де S - сума прогресії, a - перший член прогресії, r - знаменник прогресії.

Задано, що S5 = 11/8, тобто сума перших п'яти членів прогресії дорівнює 11/8. Підставляємо це значення в формулу:

11/8 = a / (1 - r).

Задано також, що S = 4/3, тобто сума всієї прогресії дорівнює 4/3. Підставляємо це значення в формулу:

4/3 = a / (1 - r).

Отримуємо систему рівнянь:

11/8 = a / (1 - r), 4/3 = a / (1 - r).

Розв'язуємо цю систему рівнянь. Спочатку знаходимо значення a:

11/8 = a / (1 - r).

Переносимо знаменник на другий бік:

a = (11/8) * (1 - r).

Підставляємо це значення a в друге рівняння:

4/3 = ((11/8) * (1 - r)) / (1 - r).

Спрощуємо вираз:

4/3 = (11/8) * (1 - r) / (1 - r).

Відкидаємо спільний знаменник:

4 * 8 = 3 * 11 * (1 - r).

Проводимо дії:

32 = 33 - 33r.

Переносимо 33r на правий бік:

33r = 33 - 32.

Виконуємо обчислення:

33r = 1.

Ділимо обидві частини на 33:

r = 1/33.

Підставляємо значення r в перше рівняння:

11/8 = a / (1 - (1/33)).

Спрощуємо:

11/8 = a / (32/33).

Перевертаємо і помножуємо:

a = (11/8) * (33/32).

Обчислюємо:

a = 33/24.

Спрощуємо:

a = 11/8.

Отже, перший член нескінченої спадної геометричної прогресії дорівнює 11/8.