Question

1. Яка з наведених послідовностей є нескінченно спадною геомет­ричною прогресією? а) 1; -1; 1; -1;... б) 1; 3; 9; 27;... в) 27; 9; 3;... г) 6; 5; 4; 3;... 2. Чому дорівнює другий член нескінченно спадної геометричної прогресії, сума якої 9, а знаменник -1/3? а) 6 б) -6 в) 4 г) -4 3. Чому дорівнює перший член нескінченно спадної геометричної прогресії, сума якої 9, а знаменник 1/3 а) 6 б) -6 в) 1/6 г) -1/6 4. Обчисліть суму нескінченно спадної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 12, а знаменник дорівнює -1/2. а) 16 б) 8 в) 9 г) 18

Answer 1

Відповідь: б) 1; 3; 9; 27;...
Загальний вираз нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q = -1/3 має вигляд aₙ = a₁(q)^(n-1). Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q і першим членом a₁ може бути обчислена як S = a₁/(1-q). Таким чином, з умови задачі маємо:
S = 9, q = -1/3, a₁ = a

Тоді a = S(1-q) = 9(1-(-1/3)) = 12. Значить, другий член нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює a₂ = a₁q = 12(-1/3) = -4.

Відповідь: г) -4.

Аналогічно попередньому завданню, з умови маємо:
S = 9, q = 1/3, a₁ = a

Тоді a = S(1-q) = 9(1-(1/3)) = 6. Значить, перший член нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює a₁ = 6.

Відповідь: а) 6.

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом a₁ і знаменником q може бути обчислена як S = a₁/(1-q). З умови маємо:
a₁ = 12, q = -1/2

Тоді S = a₁/(1-q) = 12/(1-(-1/2)) = 8.

Відповідь: б) 8.

Answer 2

Ответ:

1) б)1; -1; 1; -1

2 г) -4

3) а) 6

4) б)8

Answer 3

1. Нескінченно спадна геометрична прогресія характеризується тим, що кожен наступний член менший за попередній. Тобто, знаменник геометричної прогресії повинен бути меншим за 1. Розглянемо дані послідовності:

а) 1; -1; 1; -1;... - це арифметична послідовність, не геометрична. б) 1; 3; 9; 27;... - знаменник 3, що більше за 1, не є нескінченно спадною геометричною прогресією. в) 27; 9; 3;... - знаменник 1/3, менший за 1, що відповідає нескінченно спадній геометричній прогресії. г) 6; 5; 4; 3;... - це арифметична послідовність, не геометрична.

Отже, правильна відповідь - варіант (в).

2. Для нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q і першим членом a, сума S обчислюється за формулою: S = a / (1 - q)

У нашому випадку a = 9 і q = -1/3. Підставимо ці значення в формулу: S = 9 / (1 - (-1/3)) S = 9 / (1 + 1/3) S = 9 / (4/3) S = (9 * 3) / 4 S = 27 / 4

Отже, другий член прогресії дорівнює 27/4, і найближча правильна відповідь - варіант (г).

3. Для нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q і сумою S, перший член a обчислюється за формулою: a = S * (1 - q)

У нашому випадку S = 9 і q = 1/3. Підставимо ці значення в формулу: a = 9 * (1 - 1/3) a = 9 * (2/3) a = 18/3 a = 6

Отже, перший член прогресії дорівнює 6, і правильна відповідь - варіант (а).

4. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом a і знаменником q обчислюється за формулою: S = a / (1 - q)

У нашому випадку a = 12 і q = -1/2. Підставимо ці значення в формулу: S = 12 / (1 - (-1/2)) S = 12 / (1 + 1/2) S = 12 / (3/2) S = (12 * 2) / 3 S = 24 / 3 S = 8

Отже, сума прогресії дорівнює 8, і правильна відповідь - варіант (б).