Question

Алгебра 8 клас Відомо, що р і у- не парні числа. Доведіть, що рівняння x² + px + y = 0 не має раціональних 2 коренів.

Answer 1

Итак, используем теорему Виета

По теореме Виета х1х2 = с, х1 + х2 = -p.
c - непарное, соответственно корни 2 непарных числа, иначе быть не может ведь при умножении непарное выйдет только при умножении двух непарных множетелей. p непарное, тогда и -р тоже непарное, знак на парность не повлияет. Но -p = х1 + х2 , чего быть не может, ведь сумма 2 непарных чисел это всегда парное число. Тогда получается парадокс, и рациональных корней уравнение не имеет

Answer 2

Для доведення того, що рівняння \(x^2 + px + y = 0\) не має раціональних коренів, де \(p\) і \(y\) - непарні числа, скористаємося методом від супротивного. Тобто, ми припустимо, що рівняння має раціональний корінь, а потім доведемо, що це протирічить умові задачі.

Нехай \(a\) і \(b\) - раціональні корені рівняння \(x^2 + px + y = 0\). Тоді за теоремою Вєєта маємо:

\[a + b = -p \quad (1)\]

\[ab = y \quad (2)\]

З умови задачі відомо, що \(p\) і \(y\) - непарні числа, тобто не кратні 2. Ми також можемо припустити, що \(a\) і \(b\) - раціональні числа, тобто \(a = \frac{m}{n}\) і \(b = \frac{k}{l}\), де \(m, n, k, l\) - цілі числа і \(n \neq 0, l \neq 0\).

Підставимо ці значення у (1):

\[\frac{m}{n} + \frac{k}{l} = -p\]

Множимо обидві сторони на \(nl\), щоб позбавитися від знаменників:

\[lm + kn = -pnl\]

Ліва сторона рівності (lm + kn) - це ціле число, оскільки \(m, n, k, l\) - цілі числа. Права сторона рівності (-pnl) - це добуток трьох непарних чисел, тобто вона теж є непарною. Отже, ми отримуємо, що сума двох цілих чисел дорівнює непарному числу, що суперечить правилу суми парних і непарних чисел.

Отже, припущення, що рівняння \(x^2 + px + y = 0\) має раціональний корінь, є хибним. Це означає, що рівняння не має раціональних коренів, що і було потрібно довести.