Question

Задана квадратичная функция y = x2 − 4x + 5. а) Найдите координаты вершины параболы (6 баллов). б) Постройте график данной функции (12 баллов). в) Укажите промежутки возрастания и убывания данной функции (7 баллов).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y = x² − 4x + 5

у=(х²-2*2х+4)-4+5=(х-2)²+1

у=(х-2)²+1

координаты вершины х=2; у=1

б) см. ниже.

в) функция возрастает при х∈[2;+∞) и убывает при х ∈(-∞;2]

Answer 2

Дана квадратичная функция \( y = x^2 - 4x + 5 \). Давайте выполним заданные действия:

а) Найдем координаты вершины параболы. Для нахождения координат вершины параболы можно воспользоваться формулой \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) - коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) соответственно.

В данной функции \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)) и \( b = -4 \) (коэффициент при \( x \)).

Теперь найдем координаты вершины параболы:

\( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).

Далее, чтобы найти \( y \) координату вершины, подставим \( x = 2 \) в исходное уравнение:

\( y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \).

Таким образом, координаты вершины параболы: \( (2, 1) \).

б) Построим график данной функции. Для построения графика функции \( y = x^2 - 4x + 5 \) используем найденные координаты вершины параболы и основные свойства параболы. Вершина находится в точке \( (2, 1) \).

График параболы имеет форму ветвей, направленных вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) ( \( a \) ) равен 1 (положительное значение). Также можно найти дополнительные точки, подставив различные значения \( x \) в уравнение, чтобы построить кривую.

в) Укажем промежутки возрастания и убывания данной функции. Для этого определим знак производной функции. Функция возрастает, когда ее производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна.

Возьмем первую производную функции \( y = x^2 - 4x + 5 \) и приравняем ее к нулю для определения точек экстремума:

\( y' = 2x - 4 = 0 \) \( 2x = 4 \) \( x = 2 \)

Таким образом, единственная точка экстремума функции - \( x = 2 \), которая соответствует вершине параболы. Это подтверждает, что функция возрастает на промежутках, лежащих за пределами вершины параболы.

Следовательно, функция \( y = x^2 - 4x + 5 \) возрастает на \((- \infty, 2)\) и убывает на \((2, +\infty)\).