Question

100 баллов Задана квадратичная функция y = x2 − 4x + 5. а) Найдите координаты вершины параболы б) Постройте график данной функции в) Укажите промежутки возрастания и убывания данной функции

Answer 1

Ответ:

Квадратичная ф-ция   $y=x^2-4x+5$  .

а)  Абсцисса вершины:  $x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$

Ордината вершины  $y_{v}=2^2-4\cdot 2+5=1$

Координаты вершины  V( 2 ; 1 )

Ось симметрии параболы:  х=2 .

б)  Точка пересечения с ОУ :  (0;5) . Симметричная ей точка относительно оси х=2 - точка  (4;5) .

Точек пересечения с ОХ нет .

Ещё две точки, через которую проходит график - точки  (-1;10) , (5;10)  

в)  Промежутoк возрастания:  х ∈ [ 2 ; +∞ )  .

    Промежутoк убывания:  х ∈ ( -∞ ; 2 ]  .

Answer 2

Нахождение координат вершины параболы

Для нахождения координат вершины параболы, заданной квадратичной функцией y = x^2 - 4x + 5, нужно использовать формулы известные как "формулы вершины параболы". В данном случае, коэффициенты функции равны a = 1, b = -4 и c = 5.

Координата x вершины параболы можно найти по формуле: x = -b / (2a)

Подставляя значения коэффициентов, получаем: x = -(-4) / (2*1) = 4 / 2 = 2

Теперь, найденное значение x можно подставить в исходную функцию, чтобы найти соответствующую координату y: y = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Таким образом, координаты вершины параболы равны (2, 1).

Построение графика данной функции

Для построения графика функции y = x^2 - 4x + 5 можно использовать различные способы. Один из самых простых способов - это построение таблицы значений и последующее построение графика по этим значениям.

Выберем несколько значений для переменной x и подставим их в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y. Например, можно выбрать значения x = -2, -1, 0, 1, 2.

Подставляя эти значения в функцию, получаем следующие значения y: - При x = -2, y = (-2)^2 - 4(-2) + 5 = 4 + 8 + 5 = 17 - При x = -1, y = (-1)^2 - 4(-1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 - При x = 0, y = (0)^2 - 4(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5 - При x = 1, y = (1)^2 - 4(1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2 - При x = 2, y = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Теперь, используя эти значения, можно построить график, где по оси x откладываются значения x, а по оси y откладываются значения y. Соединив получившиеся точки на графике, получим параболу.

Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной функции.

Производная квадратичной функции y = x^2 - 4x + 5 равна: y' = 2x - 4

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти значения x, при которых производная равна 0, и определить знак производной в интервалах между этими значениями.

Для этого, приравняем производную к нулю и найдем значения x: 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2

Таким образом, производная равна 0 при x = 2.

Теперь, можно построить таблицу знаков производной для разных значений x:

| x < 2 | x = 2 | x > 2 | |-------|-------|-------| | - | 0 | + |

Исходя из таблицы знаков производной, можно сделать следующие выводы: - Функция возрастает на интервале (-∞, 2) - Функция убывает на интервале (2, +∞)

Таким образом, промежутки возрастания функции y = x^2 - 4x + 5 на всей числовой прямой - это (-∞, 2), а промежутки убывания - (2, +∞).