Question

Куб, ребро которого равно р см, где р – натуральное число, сначала покрасили, а затем разрезали на единичные кубики. Может ли количество кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань, равняться количеству кубиков, у которых нет ни одной окрашенной грани?

Answer 1

Ответ:

Не может

Объяснение:

Всего единичных кубиков: p^3.

Из них кубиков, у которых не окрашено ни одной грани: (p-2)^3.

Это куб с ребром (p-2), который находится целиком внутри большого.

Посчитаем окрашенные кубики:

1) На вершинах 8 кубиков, у которых окрашено 3 грани.

2) На 12 ребрах 12(p-2) кубиков, у которых окрашено 2 грани.

3) На 6 гранях куба 6(p-2)^2 кубиков, у которых окрашена 1 грань.

И это количество должно быть равно неокрашенным кубикам.

(p-2)^3 = 6(p-2)^2 + 12(p-2) + 8

(p-2)^3 - 6(p-2)^2 - 12(p-2) - 8 = 0

Замена p-2 = t

t^3 - 6t^2 - 12t - 8 = 0

Так как t должно быть натуральным, то оно является делителем 8.

Пробуем 2, 4 и 8:

2^3 - 6*2^2 - 12*2 - 8 = 8 - 6*4 - 24 - 8 = -48

4^3 - 6*4^2 - 12*4 - 8 = 64 - 6*16 - 48 - 8 = -88

8^3 - 6*8^2 - 12*8 - 8 = 512 - 6*64 - 96 - 8 = 512 - 384 - 104 = 24

Ни одно из целых значений не подходит, значит, так сделать нельзя.

Попробуем на всякий случай 7:

7^3 - 6*7^2 - 12*7 - 8 = 343 - 6*49 - 84 - 8 = 343 - 294 - 92 = -43

t ∈ (7, 8), и оно иррациональное.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу. Пусть у нас есть куб с ребром длиной r см. Общее количество кубиков внутри этого куба равно r^3. Теперь мы его покрасили. При этом, каждая грань куба состоит из r^2 кубиков (r в длину и r в ширину).

Если хотя бы одна грань окрашена, то у нас есть 6 граней, и общее количество кубиков с окрашенными гранями равно 6 * r^2. Если же ни одна грань не окрашена, то у нас есть только внутренние кубики, и количество кубиков без окрашенных граней равно r^3 - 6 * r^2.

Теперь вопрос: может ли количество кубиков с окрашенными гранями быть равным количеству кубиков без окрашенных граней?

Мы можем записать это в виде уравнения:

\[6 \cdot r^2 = r^3 - 6 \cdot r^2\]

Упростим уравнение:

\[12 \cdot r^2 = r^3\]

Теперь, если мы подставим значение r = 12, уравнение выполняется:

\[12 \cdot (12)^2 = (12)^3\]

\[12 \cdot 144 = 1728\]

\[1728 = 1728\]

Таким образом, при r = 12 уравнение выполняется, и количество кубиков с окрашенными гранями равно количеству кубиков без окрашенных граней. Таким образом, при натуральном числе r = 12 это условие выполняется.