Question

Решите систему x+2y=1 x^2+xy+2y^2=1

Answer 1

Відповідь:

ответ на фото.

Answer 2

Для решения системы уравнений \(x + 2y = 1\) и \(x^2 + xy + 2y^2 = 1\), давайте воспользуемся методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки:

Начнем с первого уравнения: \[ x + 2y = 1 \] Отсюда выразим \(x\) через \(y\): \[ x = 1 - 2y \]

Теперь подставим полученное выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ (1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 1 - 4y + 4y^2 + 1 - 2y + 2y^2 + 2y^2 = 1 \]

Сгруппируем члены:

\[ 8y^2 - 4y = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 4y(2y - 1) = 0 \]

Имеем два возможных значения \(y\):

\[ y_1 = 0 \] \[ y_2 = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в уравнение \(x + 2y = 1\), чтобы найти соответствующие значения \(x\):

Для \(y_1 = 0\): \[ x = 1 - 2 \cdot 0 = 1 \]

Для \(y_2 = \frac{1}{2}\): \[ x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 \]

Таким образом, у нас есть две пары решений:

\[ (x_1, y_1) = (1, 0) \] \[ (x_2, y_2) = (0, \frac{1}{2}) \]

2. Метод исключения переменных:

Выразим одну из переменных из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

\[ x + 2y = 1 \] \[ x = 1 - 2y \]

Теперь подставим \(x\) во второе уравнение:

\[ (1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1 \]

Решим это уравнение аналогично методу подстановки, и мы получим те же самые решения:

\[ (x_1, y_1) = (1, 0) \] \[ (x_2, y_2) = (0, \frac{1}{2}) \]

Таким образом, система имеет два решения.