Question

Решите неравенство (x-5)(2x+6) (8-x) < 0 методом интервалов​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала упростим его:

\((x-5)(2x+6) + (8-x) < 0\).

Умножим первые два слагаемых, используя свойство распределения (дистрибутивность):

\(2x^2 - 10x + 12x - 30 + 8 - x < 0\).

Теперь объединим подобные слагаемые:

\(2x^2 + x - 22 < 0\).

Теперь наша цель - найти интервалы значений \(x\), при которых это неравенство выполняется. Для этого мы можем использовать метод интервалов.

1. Найдем корни уравнения \(2x^2 + x - 22 = 0\). Это можно сделать с помощью квадратного уравнения или факторизации:

\(2x^2 + x - 22 = 0\).

\((2x - 11)(x + 2) = 0\).

Из этого уравнения получаем два корня: \(x_1 = 11/2\) и \(x_2 = -2\).

2. Теперь наша цель - определить знак выражения \(2x^2 + x - 22\) в каждом из трех интервалов, которые определяют корни \(x_1\) и \(x_2\). Эти интервалы - это:

а) \(-\infty < x < -2\), б) \(-2 < x < 11/2\), в) \(11/2 < x < +\infty\).

3. Для определения знака выражения \(2x^2 + x - 22\) в каждом из интервалов, выберем тестовую точку внутри каждого интервала и подставим её в выражение:

а) Пусть \(x = -3\) (в интервале \(-\infty < x < -2\)): \(2(-3)^2 + (-3) - 22 = 18 - 3 - 22 = -7\). Отрицательное значение.

б) Пусть \(x = 0\) (в интервале \(-2 < x < 11/2\)): \(2(0)^2 + 0 - 22 = 0 - 22 = -22\). Отрицательное значение.

в) Пусть \(x = 6\) (в интервале \(11/2 < x < +\infty\)): \(2(6)^2 + 6 - 22 = 72 + 6 - 22 = 56\). Положительное значение.

Итак, мы выяснили знак выражения \(2x^2 + x - 22\) в каждом из интервалов:

- В интервалах а) и б) оно отрицательное. - В интервале в) оно положительное.

Теперь мы можем сформулировать ответ на неравенство:

- Неравенство \(2x^2 + x - 22 < 0\) выполняется в интервалах а) и б). - Неравенство \(2x^2 + x - 22 > 0\) выполняется в интервале в).

Таким образом, решение данного неравенства методом интервалов:

\[x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 11/2)\]